Question

Obter um P.A de três termos cuja soma seja igual a 12 e cujo produto seja igual a -132.

Answer 1

Olá, tudo bem? (-:

Questão de Matemática. Progressão Aritmética. Soma de uma PA. Multiplicação de uma PA. Equação do 2º Grau.

Resposta: P.A. = {11, 4, -3}

Com r = -7

OU

Resposta: P.A. = {-3, 4, 11}

Com r = 7

1º Passo. Vamos definir quem é a nossa PA.

Primeiro de tudo, definimos o nosso 1º termo como a incógnita x.

Como sabemos que os 2º termo é igual ao primeiro termo mais a razão, então defineremos o segundo termo como x + r, onde r é a razão.

E, por conseguinte, o terceiro termo como x + 2r.

P.A. = {x, x + r, x + 2r}

Então, nossa P.A. tem os seguintes elementos:

$a_{1} = x$

$a_{2} = x + r$

$a_{3} = x + 2r$

2º Passo. A fórmula da Soma dos termos de uma P.A.

A fórmula da soma dos termos de uma P.A. é $S_{n} = \frac{n(a_{1} + a_{n}) }{2}$

O enunciado nos forneceu as seguintes informações:

$S_{n} = 12$

$n = 3$ termos

Sabendo que:

$a_{1} = x$

$a_{3} = x + 2r$

Substituindo na fórmula da soma dos termos de uma P.A.

$12 = \frac{3(x + x + 2r) }{2}$

Resolvendo:

$24 = 3x + 3x + 6r$

$24 = 6x + 6r$

Simplificando a equação por 6

$x + r = 4$

Como nosso segundo termo da P.A. é exatamente x + r, podemos substituir nossa P.A.

P.A. = {x, x + r, x + 2r} <=> P.A. = {x, 4, x + 2r}

Agora também sabemos a razão, que será

x + r = 4 <=> r = 4 - x

Podemos então substituir o r no terceiro termo da nossa P.A.:

x + 2r

x + 2(4 - x)

x + 8 -2x

-x + 8

Portanto,

P.A. = {x, 4, -x + 8}

3º Passo. O enunciado nos informou que o produto dos termos da P.A. é -132, portanto:

x * 4 * (- x + 8) = -132

4x * (-x + 8) = -132

$-4x^{2} +32x = - 132$

$-4x^{2} +32x + 132 = 0$

Simplificando a equação por 4, teremos:

$-x^{2} +8x + 33 = 0$

4º Passo. Resolver a equação do 2º grau.

$-x^{2} +8x + 33 = 0$

a = -1

b = 8

c = 33

Encontrando o discriminante:

Δ = $b^{2} - 4.a.c$

Δ = $8^{2} - 4.(-1).33$

Δ = $64 + 132$

Δ = $196$

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:

$x' = \frac{-b+\sqrt{discrimante}}{2a}$

$x'' = \frac{-b-\sqrt{discrimante}}{2a}$

$x' = \frac{-8+\sqrt{196}}{-2}$

$x' = \frac{-8+14}{-2}$

$x' = -3$

$x'' = \frac{-8-\sqrt{196}}{-2}$

$x'' = \frac{-8-14}}{-2}$

$x'' = 11$

5º Passo. Substituindo o x na nossa P.A.

1ª Solução

P.A. = {x, 4, -x + 8}

P.A. = {11, 4, -11 + 8}

P.A. = {11, 4, -3}

2ª Solução

P.A. = {x, 4, -x + 8}

P.A. = {-3, 4, -(-3) + 8}

P.A. = {-3, 4, 3 + 8}

P.A. = {-3, 4, 11}

Vamos verificar se ambas as condições foram atendidas:

Soma precisa ser 12:

11 + 4 - 3 = 12 [Ok, condição atendida]

Produto precisa ser -132:

11 * 4 * (-3) = -132 [Ok, condição atendida]

Então,

Resposta: P.A. = {11, 4, -3}

Com r = -7

OU

Resposta: P.A. = {-3, 4, 11}

Com r = 7

Abraços e bons estudos!

Answer 2

resolução!

x - r + x + x + r = 12

3x = 12

x = 12/3

x = 4

( 4 - r ) ( 4 ) ( 4 + r ) = - 132

16 + 4r - 4r - r^2 = - 33

- r^2 = - 33 - 16

- r^2 = - 49 * (-1)

r = √49

r = + - 7

= x - r , x , x + r

= 4 - 7 , 4 , 4 + 7

= - 3 , 4 , 11

= x - r , x , x + r

= 4 - (-7) , 4 , 4 + (-7)

= 11 , 4 , - 3

PA = { - 3 , 4 , 11 } ou { 11 , 4 , - 3 }