Question

Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 4 da função f(x) = cos x em torno de x0 = 0.

Answer 1

f(x) = cos(x)      $x_{0}=0$      f(0)      = 1
f'(x) = -sen(x)                       f'(0)     = 0
f''(x) = -cos(x)                       f''(0)    = -1
f'''(x) = sen(x)                       f'''(0)   = 0
f''''(x) = cos(x)                       f''''(0)  = 1

$P_{4}(x)= f(x_{0}) + f'(x).(x - x_{0}) + \frac{f''(x).{(x - x_{0})}^2}{2!} + \frac{f'''(x).{(x - x_{0})}^3}{3!}+$
$\frac{f''''(x).{(x - x_{0})}^4}{4!}$

⇒$P_{4}(x)= 1 + 0 +(\frac{-1}{2}).x^2 + 0 + \frac{1}{24}.x^4$
⇒$P_{4}(x)= 1 -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$


Agora para obter o valor do ponto da aproximação da tangente pela expansão da série de Taylor basta substituir o X pelo ponto da vizinhança em questão.

Answer 2

$\huge \boxed{ \boxed{ \sf P_{4}(x) = 1 - \dfrac{{x}^{2}}{2} +\dfrac{{x}^{4}}{24}}}$

Série de Taylor

A questão pede para obtermos o Polinômio de Taylor de ordem 4, da função cosx em torno de x = 0, a resolução é bem simples. A série de Taylor é dada pela fórmula:

$\Large f(x) = \displaystyle\sum f(c) + \dfrac{f'(c){(x - c)}^{1}}{1!} + \dfrac{f'(c){(x - c)}^{2}}{2!} +... \dfrac{{f}^{n}(c){(x - c)}^{n}}{n!}$

Vamos calcular os Polinômios de ordem 4. Dado que temos que calcular o valor Numérico de cos 0, e suas Derivadas 4 vezes, vamos lá

• Iremos aplicar as Seguintes regras de derivação Trigonométrica:

$\Large \sf f'(x) = sen (x) \Rightarrow cos (x) \\\\ \Large \sf f'(x) = cos (x) \Rightarrow -sen (x)$

E para calcular a o valor Numérico, apenas temos que substituir as Incógnitas "x" por 0. Cálculo abaixo

$\Large\boxed{\begin{array}{lr} \\ \sf Derivadas \\ \\ \sf f'(x) = cos(x) \\ \sf f'(x) = - sen(x) \\ \\ \sf f"(x) = -cos(x) \\\\ \sf f"'(x) = sen(x) \\\\ \sf f""(x) = cos(x)\\\: \end{array}} \Large\boxed{\begin{array}{lr} \\ \sf valores \: para \: x \: = \: 0 \\ \\ \sf f'(0) = cos(0) = 1 \\ \sf f'(0) = - sen(0) = 0 \\ \\ \sf f"(0) = -cos(0) = - 1 \\\\ \sf f"'(0) = sen(0) = 0 \\\\ \sf f""(0) = cos(0) = 1\\\: \end{array}}$

• Agora que temos as o valor Numérico das Derivadas, vamos lá na fórmula de Taylor e achar o polinômio de ordem 4. Veja Abaixo:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\\\sf P_4(x)=f(c)+\dfrac{f'(c)(x-c)^1}{1!}+\dfrac{f''(c)(x-c)^2}{2!}+\dfrac{f'''(c)(x-c)^3}{3!}+\dfrac{f''''(c)(x-c)^4}{4!}\\\\\sf P_4(x)=1+\dfrac{0(x-0)^1}{1!}+\dfrac{-1(x-0)^2}{2!}+\dfrac{0(x-0)^3}{3!}+\dfrac{1(x-0)^4}{4!}\\\\\sf P_4(x)=1+\dfrac{0}{1}+\dfrac{-1 \cdot x^2}{2}+\dfrac{0^3}{6}+\dfrac{1\cdot x^4}{24}\\\\\sf P_4(x)=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}\\\:\end{array}}$

➡️ Resposta:

$\huge \boxed{ \boxed{ \sf P_{4}(x) = 1 - \dfrac{{x}^{2}}{2} +\dfrac{{x}^{4}}{24}}}$

$\Large\sf \: —————– LATEX ———–———–$

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$\Large\sf \: —————– LATEX ———–———–$

$\Huge \boxed{ \boxed{ \mathbb{\displaystyle\sum}\sf{uri}\tt{lo}\bf{G\Delta}}}$