Question

Seja M>1 o segundo menor inteiro positivo que dividido por 2, 3, 4, 5 deixa resto 1 . Calcule o resto da divisão de M4+7M por 9.​

Answer 1

Resposta:

Para resolver, primeiro devemos descobrir o valor de M.

Para descobrir o valor de M devemos primeiro calcular o MMC de 2, 3, 4 e 5 (Pois calculando o MMC nós chegaremos ao primeiro menor inteiro positivo para depois multiplicar por 2), depois multiplicar por 2 (Pois queremos saber qual é o segundo menor inteiro positivo que dividido por 2, 3, 4 e 5 deixa resto 1), e somar com 1(Pois o resto deve ser 1).

MMC (2, 3, 4 e 5) = 2, 3, 4 e 5 | 2

1, 3, 2 e 5 | 2

1, 3, 1 e 5 | 3

1, 1, 1 e 5 | 5

1, 1, 1 e 1

2 × 2 × 3 × 5 = 60.

60 × 2 = 120.

120 + 1 = 121.

Agora nós podemos resolver a expressão.

M^4 + 7M =

121^4 + 7 × 121 =

214.358.881 + 7 × 121 =

214.358.881 + 847 =

214.359.728.

Agora vamos dividir 214.359.728 por 9.

214.359.728 ÷ 9 = 23.817.747

E deixa resto 5.

Answer 2

Uma outra resolução usando teorema dos restos:

Aplicando o mmc de  2, 3, 4, 5 = 60, segundo menor inteiro positivo -> 60x2 = 120, 120 + 1 = 121

M = 121

O teorema dos restos nos diz que se N tem resto N1 quando dividido por x e B tem resto B1 também quando dividido por x

N.B tera resto N1.B1 pela divisão por x

N + B tera resto N1 + B1 pela divisão por x

Resto da divisão de 121 por 9 = 4

Logo:

$M^{4} + 7M$

$4.4.4.4 + 7(4) = 284$

284 tem resto 5 na divisão por 9

logo $M^{4} + 7M$ tem resto 5.

Uma forma mais rápida e sem muitas contas.