Question

Obtenha as raízes cubicas de Z= -27i

Answer 1

Vamos relembrar o que acontece quando tiramos a raiz enésima de uma número complexo.

Sendo um complexo Z da forma :

$\displaystyle Z = |Z|.cis(\theta)$

onde :

$cis(\theta) = Cos(\theta) + i.Sen(\theta)$

Ao tirar a raiz enésima, fica da forma :

$\displaystyle \sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{|Z|}. Cis(\frac{\theta + 2.k.\pi}{n} )$

onde :

$K = \{0,1,2,3,..., n-1 \}$

A questão nos dá $Z = -27i$ e nos pede as raízes cúbicas. Então 1º vamos colocar esse número na forma trigonométrica

$Z = -27.i$

Note que podemos reescrever da seguinte forma :

$Z = 27.(0 - i)$

então temos

$Cos(\theta) = 0$

$Sen(\theta) = -1$

Então o ângulo é 270º, ou seja, $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$.

Portanto o número complexo Z é da forma :

$\displaystyle Z = 27.Cis(\frac{3\pi}{2} )$

Tirando a raiz cúbica

$\displaystyle \sqrt[3]{Z} = \sqrt[3]{27}.Cis(\frac{\frac{3\pi}{2}+2.k.\pi}{3} )$

$\displaystyle \sqrt[3]{Z} = 3.Cis(\frac{\frac{3\pi}{2}+2.k.\pi}{3} )$

da pra melhorar isso aí, ficando assim :

$\displaystyle \sqrt[3]{Z} = 3.Cis(\frac{\pi}{2}+ \frac{2.k.\pi}{3} )$

Agora vamos substituir K = {0,1,2}

$\displaystyle K = 0 \to 3.Cis(\frac{\pi}{2}+ \frac{2.0.\pi}{3} ) = 3.Cis(\frac{\pi}{2}) = 3.i$

$\displaystyle K = 1 \to 3.Cis(\frac{\pi}{2}+ \frac{2.1.\pi}{3} ) = 3.cis(\frac{7\pi}{6}) = 3(\frac{-\sqrt{3}}{2} -\frac{i}{2}) = \frac{-3\sqrt{3}-3i}{2}$

$\displaystyle K = 1 \to 3.Cis(\frac{\pi}{2}+ \frac{2.2.\pi}{3} ) = 3.cis(\frac{11\pi}{6}) =3.(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}) = \frac{3\sqrt{3}-3.i}{2}$

Essas são as três raízes cúbicas do complexo Z = -27i