Question

Observe a sequência de números:(0,2,6,14,30,62,...),ou seja, A1= 0, a2=2, a3=6, a4=14, a5=30, a6= 62,.. A expressão numérica que representa o termo geral (an) da sequência é:
A)n2 - 1
B) 2(n - 1)2
C)n2-n
D)2n - 2
E) 2n -2

Answer 1

Utilizando conceitos de progressão geometrica (P.G.), temos que o termo geral desta sequência é dado por $A_n=2^{n+1} - 2$, que deve ser a letra D ou E (Não da para saber, pois a questão foi mal escrita e as duas estão identicas).

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente reescrever cada termo desta sequência utilizando um valor somando na anterior para podermos encontrar a regra de formação desta sequência:

A0 = 0 = 0

A1 = 2 = 0 + 2

A2 = 6 = 0 + 2 + 4

A3 = 14 = 0 + 2 + 4 + 8

A4 = 30 = 0 + 2 + 4 + 8 + 16

....

Como podemos notar esta sequência é feita pela soma de todos os termos da sequência (2,4,8,16,32...), que é uma PG de razão 2 e termo inicial 2, e cada termo da nossa sequência é a soma da PG até o n-ésimo termo, assim basta utilizarmos a formula de soma de PG para encontrarmos este valor:

$S_n=\frac{a_1.(q^n -1)}{q - 1}$

Substituindo na formula os valores de A1 e razão q da PG encontrada, temos que:

$S_n=\frac{2.(2^n -1)}{2 - 1}$

$S_n=2.(2^n -1)$

$S_n=2^{n+1} - 2$

Assim temos que a soma de todas estas potencias de 2 é dada por esta formula acima, assim basta substituirmos na nossa sequência inicial:

A0 = 0 = 0

A1 = 2 = 0 + 2

A2 = 6 = 0 + 2 + 4

A3 = 14 = 0 + 2 + 4 + 8

A4 = 30 = 0 + 2 + 4 + 8 + 16

....

$A_n=2^{n+1} - 2$

Assim temos que o termo geral desta sequência é dado por $A_n=2^{n+1} - 2$, que deve ser a letra D ou E (Não da para saber, pois a questão foi mal escrita e as duas estão identicas).

Answer 2

A forma mais simples de resolver é testando as alternativas e vendo se elas se encaixam na sequência.

Sabendo que , ,   , vamos ver se para cada alternativa conseguimos encontrar esses termos substituindo n por 1, 2 e 3.

n² - 1

n = 1 → 1² - 1 = 0

n = 2 → 2² - 1 = 4 - 1 = 3

Veja que o segundo termo é 3, então já eliminamos essa alternativa.

2( n - 1 )²

n = 1 → 2(1 - 1)² = 2.0 = 0

n= 2 → 2(2 - 1)² = 2.1 = 2

n = 3 → 2(3 - 1)² = 2.4 = 8

Veja que o terceiro termo é 8, então já eliminamos essa alternativa também.

n² - n

n = 1 → 1² - 1 = 0

n = 2 → 2² - 2 = 4 - 2 = 2

n = 3 → 3² - 3 = 9 - 3 = 6

n = 4 → 4² - 4 = 16 - 4 = 12

Está incorreto.

2ⁿ - 2

n = 1 → 2¹ - 2 = 0

n = 2 → 2² - 2 = 4 - 2 = 2

n = 3 → 2³ - 2 = 8 - 2 = 6

A sequencia está correta.

2n - 2

n = 1 → 2.1 - 2 = 0

n = 2 → 2.2 - 2 = 4 - 2 = 2

n = 3 → 2.3 - 2 = 6 - 2 = 4

Como o terceiro termo deveria ser 6, esta também está incorreta.

Resposta: Letra D