Matemática, perguntado por brendabrj, 6 meses atrás

Observe a expressão a seguir
$a + b = 9$
$a \times b = 6$
$a {}^{2} + b {}^{2}$
Determine o valor da expressão
$a {}^{2} + b {}^{2}$

Preciso disso hj!!

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Sabendo que a + b = 9 e que ab = 6, podemos afirmar que o valor da expressão algébrica a² + b² é igual a 6.

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Como o exercício nos deu duas equações, então de praxe vamos montar um sistema de equações para melhor visualizá-las:

$\\\Large\begin{array}{l}\begin{cases}\sf a+b=9~~\mathnormal{(\,I\,)}\\\\\sf ab=6~~~~~\mathnormal{(\,II\,)}\end{cases}\end{array}\\\\$

Analisando ambas as equações, notamos que a soma a + b resulta em 9, ao passo que o produto ab resulta em 6. Nosso foco aqui é determinar a soma a² + b², solicitada pelo exercício.

‘‘Mas como resolver isso?’’ Bem, sabemos alguns métodos distintos para solucionar esse tipo de questão, veja:

O primeiro método é fácil, e creio eu, que pode ser a intenção da questão. Consiste na ideia de encontrar direto o valor da soma a² + b² sem precisar determinar o valor das duas variáveis separadamente;
O segundo método é muito mais fácil e, creio eu, que também pode ser a intenção da questão. Consiste em usar a identidade algébrica: a² + b² = (a + b)² – 2ab. Você verá na resolução com mais detalhes;
O terceiro método é mais trabalhoso e inviável. Consiste em resolver o sistema por substituições a fim de encontrar as variáveis ‘‘a’’ e ‘‘b’’, separadamente.

Sendo assim, como o terceiro método é inviável e demorado, vou fazer nos dois primeiros que apresentei, acompanhe.

1º método de resolução

Primeiramente precisamos pensar em um meio de trazer a expressão a² + b² em alguma das equações do sistema. De cara, pensamos em elevar a eq. ( ɪ ) ao quadrado, pois veja que (a + b)² é o produto notável ‘‘quadrado da soma de dois termos’’, que resulta em a² + 2ab + b² (obs.: lembre-se que, toda manipulação que fizermos numa equação, temos que operar o mesmo nos dois membros):

$\\\large\begin{array}{l}\begin{cases}\sf(a+b)^2=(9)^2\\\\\sf ab=6\end{cases}\\\\\\\begin{cases}\sf a^2+2ab+b^2=81\\\\\sf ab=6\end{cases}\\\\\\\begin{cases}\sf \boldsymbol{\sf a^2+b^2}+2ab=81\\\\\sf ab=6\end{cases}\end{array}\\\\$

Perceba que a intenção de elevar a primeira eq. ao quadrado foi para obtermos a expressão a² + b², contudo, também obtemos o produto 2ab. Então olha que lindo: basta que substituamos o valor de ab, da eq. ( ɪɪ ), em 2ab, e por conseguinte, basta que isolemos a² + b² para finalmente determinar seu valor:

$\\\large\begin{array}{l}\begin{cases}\sf a^2+b^2+2\boldsymbol{\sf ab}=81\\\\\sf \boldsymbol{\sf ab=6~^\nearrow}\end{cases}\\\\\\\sf\iff~~~ a^2+b^2+2\cdot6=81\\\\\sf\iff~~~a^2+b^2+12=81\\\\\sf\iff~~~a^2+b^2=81-12\\\\\sf\iff~~\,\boldsymbol{\boxed{\sf a^2+b^2=69}}\end{array}\\\\$

$\!\!\!\!\Huge\begin{array}{l}\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

2º método de resolução

Como queremos a soma a² + b², a ideia é usar a seguinte identidade algébrica:

$\\\Large\begin{array}{l}\sf a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\end{array}\\\\$

Pois desenvolvendo o produto notável, temos: (a + b)² = a² + 2ab + b², então surge a identidade a² + b² = (a + b)² – 2ab.

Assim, basta que substituamos nela os valores de a + b e ab situados no sistema, assim encontrando facilmente o valor da expressão a² + b²:

$\\\large\begin{array}{l}\sf\iff~~~ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\\\\\sf\iff~~~ a^2+b^2=(9)^2-2\cdot6\\\\\sf\iff~~~ a^2+b^2=81-12\\\\\sf\iff~~\,\boldsymbol{\boxed{\sf a^2+b^2=69}}\end{array}\\\\$

$\!\!\!\!\Huge\begin{array}{l}\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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Resposta: Mostrei dois métodos de resolver a questão, sendo assim, podemos afirmar que o valor da expressão a² + b² equivale a 69.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$