Question

(OBMEP) Todos os vértices do pentágono ABCDE es-
tão sobre um mesmo círculo. Se DAC = 50°, determine
ABC + AED
. ​

Answer 1

A soma ABC + AED é igual a 230º.

Observe o que diz o seguinte teorema:

Um ângulo inscrito é a metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é a metade da medida do arco correspondente.

Se o ângulo DAC mede 50º, então o arco CD mede 100º.

Da figura abaixo, temos que:

x + y + z + w + 100 = 360

x + y + z + w = 260.

Utilizando a definição acima, temos que:

ABC = (x + y + 100)/2 e AED = (z + w + 100)/2.

Somando esses dois ângulos, podemos concluir que:

ABC + AED = (x + y + z + w + 200)/2

ABC + AED = (260 + 200)/2

ABC + AED = 460/2

ABC + AED = 230º.