Question

o volume do sodio obtido girando se em relação ao eixo y, a região limitada pelas retas x=0, y-1, y-4 e y=raiz x +1 é:

Answer 1

■ Primeiro vamos aos dados do exercício:

1)Retas limitadoras da região plana: x =0 ; y=1; y = 4; 
2)Função limitadora da região: y = √x + 1 (é isso? eu vou supor isso!)
3) Rotação dessa região limitada pelas curvas de (1) e (2) vai girar em torno do eixo y (eixo das ordenadas)
4) Segue no anexo a descrição dessa região no plano cartesiano.

■ Agora vamos determinar o raio típico R(y) que vai gerar esse sólido em torno de y, para x em função de y: x = x(y). Primeiramente, y = √x +1 é a curva que parte de (0,1) e cruza y=4 em x = 9. Fica assim: 
y = √x + 1
√x = y -1
x = (y-1)² 
x = y² - 2y + 1
x(y) = y² - 2y + 1 ← x é função de y 
R(y) = y² - 2y + 1 ← raio R(y) que vai gerar o sólido.

■ Cálculos do Volume.

4
∫ π R(y) dy = V
1

4
∫ π [y² - 2y +1] dy = V
1  

π[y³/3 - y²/2 + y]|{1,4} = V

π[(4³/3 - 4²/2 + 4) - (1³/3 - 1²/2 + 1)] = V

π[64/3 - 16/2 + 4) - (1/3 - 1/2 + 1)] = V 

π[(52/3) - (5/6)] = V

V = (33/2).π 

Segue em anexo a região que gera esse sólido.