Question

o vetor gradiente da função f, dada por f(x,y) 5x^2y^2

Answer 1

$\displaystyle \math{grad}(f)=\vec{\nabla}f=\frac{\partial f}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}+\hat{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\hat{k}\\\\ f=f(x,y)=5x^2y^2\\\\\vec{\nabla}f(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}5x^2y^2\ \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}5x^2y^2\ \hat{j}=10xy^2\hat{i}+10x^2y\ \hat{j}\\\\\boxed{\vec{\nabla}f(x,y)=10xy^2\ \hat{i}+10x^2y\ \hat{j}}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(x, y) = (10xy^{2},\,10x^{2}y)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = 5x^{2}y^{2}\end{gathered}$

Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

Então, temos:

• Calculando o vetor gradiente da função:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot5\cdot x\cdot y^{2} \cdot\vec{i} + 2\cdot5\cdot x^{2}\cdot y\cdot \vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 10xy^{2}\,\vec{i} + 10x^{2}y\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (10xy^{2},\,10x^{2}y)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = (10xy^{2},\,10x^{2}y)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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