Question

O valor de sen 105° - cos 15° é:

Answer 1

Vamos começar reescrevendo o sen(105°) como o seno da soma de dois outros arcos: 90°e 15°

Para tanto, vamos utilizar a relação para o seno da soma de dois arcos (abaixo).

$\boxed{sen(a+b)~=~sen(a)\cdot cos(b)~+~sen(b)\cdot cos(a)}\\\\\\sen(105^\circ)~=~sen(90^\circ+15^\circ)\\\\\\sen(105^\circ)~=~sen(90^\circ)\cdot cos(15^\circ)~+~sen(15^\circ)\cdot cos(90^\circ)$

         $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Angulo}}&^{~~0^\circ}_{0~rad}&^{~~~30^\circ}_{\pi/6~rad}&^{~~~45^\circ}_{\pi/4~rad}&^{~~~60^\circ}_{\pi/3~rad}&^{~~~90^\circ}_{\pi/2~rad}\\Seno&0&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\Cosseno&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&0\\Tangente&0&\dfrac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}&^{~nao}_{existe}\end{array}$

Utilizando a tabela de senos e cossenos para arcos notáveis, tiramos que sen(90°) e cos(90°) valem, respectivamente, 1 e 0, logo:

$sen(105^\circ)~=~1\cdot cos(15^\circ)~+~sen(15^\circ)\cdot 0\\\\\\\boxed{sen(105^\circ)~=~cos(15^\circ)}$

Voltando a expressão solicitada, temos:

$sen(105^\circ)~-~cos(15^\circ)~=~cos(15^\circ)~-~cos(15^\circ)\\\\\\\boxed{sen(105^\circ)~-~cos(15^\circ)~=~0}$