Question

O triângulo ABC é eqüilátero e a medida CD é igual a 6 unidades de comprimento. Com base nos textos, a área da região ABCD, em unidades de área, é de
(a) 34 √3
(b) 68 √3
(c) 49 √3
(d) 98 √3
(e) 66 √3
(f) I.R.

Answer 1

No triângulo menor, com ângulo de 120º, temos:
A = 120º            a = 14            b = 6            c = ?
Vamos utilizar a lei dos cossenos para determinar a medida c.
a² = b² + c² - 2bc · cos A
14² = 6² + c² - 2· 6 · c · cos 120º
196 = 36 + c² - 2 · 6 · c · (-1/2)
196 = 36 + c² + 6c
36 + c² + 6c = 196
c² + 6c + 36 - 196 = 0
c² + 6c - 160 = 0
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$\\c=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot1\cdot(-160)}}{2\cdot1}=\frac{-6\pm\sqrt{36+640}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{676}}{2}=\frac{-6\pm26}{2}\\ \\c'=\frac{-6+26}{2}=\frac{20}{2}=10\\ \\c''=\frac{-6-26}{2}=\frac{-32}{2}=-16$
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Como a medida tem que ser um número positivo, então c = 10
Então no triângulo ADC, as medidas são a = 14, b = 6 e c = 10.
Para calcular a área desse triângulo podemos utilizar a fórmula de Heron:
$A=\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}$ onde  $p=\frac{a+b+c}{2}$

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{14+6+10}{2}=\frac{30}{2}=15\\ \\ \\ \\A=\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}\\ \\A=\sqrt{15\cdot(15-14)\cdot(15-6)\cdot(15-10)}\\ \\A=\sqrt{15\cdot1\cdot9\cdot5}\\ \\A=\sqrt{3\cdot5\cdot1\cdot9\cdot5}\\ \\A=\sqrt{3\cdot25\cdot9}\\ \\A=\sqrt{3\cdot25\cdot9}\\ \\A=\sqrt{25\cdot9\cdot3}\\ \\A=\sqrt{25}\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}\\ \\A=5\cdot3\cdot\sqrt{3}\\ \\A=15\sqrt{3}$
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Calculando a área do triângulo ABC (equilátero): $A_{ABC}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$
l = 14  A = ?
$A_{ABC}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{14^2\sqrt{3}}{4}=\frac{196\sqrt{3}}{4}=49\sqrt{3}\\\\A_{ABC}=49\sqrt{3}$

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Calculando a área da região ABCD
$A_{ABC}=A_{ABCD}+A_{ADC}\\ \\49\sqrt{3}=A_{ABCD}+15\sqrt{3} \\\\A_{ABCD}+15\sqrt{3}=49\sqrt{3}\\ \\A_{ABCD}=49\sqrt{3}-15\sqrt{3}\\ \\A_{ABCD}=34\sqrt{3}$