Question

o triangulo ABC, cujos lados medem AB=6 BC=7 e AC=8, esta circunscrito á circuferencia de centro O. sendo P o ponto de tangencia em relação ao lado AC, a medida do segmento AP

Answer 1

Resposta:

3,5

Explicação passo-a-passo:

Boa tarde!

Primeiro, calculemos a área do triângulo usando o Teorema de Herão:

$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Onde:

$p=\dfrac{a+b+c}{2}$

Então, dados:

• AB=c=6;
• BC=a=7;
• AC=b=8;

$p=\dfrac{7+8+6}{2}=\dfrac{21}{2}=10,5$

Agora:

$p-a=\dfrac{21}{2}-7=\dfrac{7}{2}\\\\p-b=\dfrac{21}{2}-8=\dfrac{5}{2}\\\\p-c=\dfrac{21}{2}-6=\dfrac{9}{2}\\\\A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\\\A=\sqrt{\dfrac{21}{2}\cdot\dfrac{7}{2}\cdot\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{9}{2}}\\\\A=\sqrt{\dfrac{6\,615}{16}}\\\\A=\dfrac{21\sqrt{15}}{4}\approx 20,33$

Agora que temos a área podemos obter o raio da circunferência inscrita no triângulo, pela seguinte fórmula:

$A=p\cdot r$

Onde r é o raio da circunferência inscrita. Então:

$\dfrac{21\sqrt{15}}{4}=\dfrac{21}{2}\cdot r\\\\r=\dfrac{21\sqrt{15}}{4}\cdot\dfrac{2}{21}\\\\r=\dfrac{\sqrt{15}}{2}\approx 1,94$

Bom, falta pouco :)

O ângulo BAC pode ser obtido pela lei dos cossenos:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta\\\\7^2=6^2+8^2-2.6.8\cos\theta\\\\49=36+64-96\cos\theta\\\\\cos\theta=\dfrac{51}{96}$

E, no triângulo AOP, o ângulo OAP é metade do ângulo BAC. Portanto, podemos calcular o seno de theta e a tangente do arco-metade da seguinte forma:

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\\\\sin^2\theta+\left(\dfrac{51}{96}\right)^2=1\\\\\sin^2\theta=1-\dfrac{2601}{9216}=\dfrac{735}{1024}\\\\\sin\theta=\dfrac{7\sqrt{15}}{32}$

E, agora:

$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\dfrac{\dfrac{7\sqrt{15}}{32}}{1+\dfrac{51}{96}}=\dfrac{\sqrt{15}}{7}$

Agora, sim:

$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{r}{\overline{AP}}\\\\\dfrac{\sqrt{15}}{7}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{15}}{2}}{\overline{AP}}=\overline{AP}=\dfrac{7}{2}=3,5$

Espero ter ajudado!

Answer 2

pC = y. Se pC=y então Cq=y

qB = z. Se qB=z, então Br = z

O lado AC tem o segmento: x + y = 8

O lado CB tem segmento: y + z = 7

O lado BA tem segmento: z + x = 6

Vamos resolver o sistema:

x + y = 8    ----> y = 8 - x

y + z = 7  --->  8 - x + z = 7   -->  -x + z = 7 - 8   -->  x - z = 1    ---> x = z + 1

z + x = 6   ---->   z + z + 1 = 6  --->   2z = 5    --> z = 2,5

Se z = 2,5  --> x + z = 6   --.    x = 6 - 2,5  ===.    x = 3,5