Question

O sistema de inequações 2x < x + 4 < 3x, tem como solução:

Answer 1

Temos uma dupla desigualdade:

$\mathtt{2x<x+4<3x}$


que é equivalente ao seguinte sistema de inequações:

$\left\{\! \begin{array}{lclc} \mathtt{2x}&\!\!\!<\!\!\!&\mathtt{x+4}&\quad\mathtt{(i)}\\ \mathtt{x+4}&\!\!\!<\!\!\!&\mathtt{3x}&\quad\mathtt{(ii)} \end{array} \right.$


Vamos resolver as inequações separadamente e fazemos a interseção entre as soluções.

______

•   $\mathtt{2x<x+4}$

$\mathtt{2x-x<4}\\\\ \mathtt{x<4}$


Solução da inequação $\mathtt{(i)}:$

$\begin{array}{cc} \mathtt{S_{(i)}}&\quad\mathtt{\underline{*****\,*}\underset{4}{\circ}\underline{\quad\quad\quad\quad}} \end{array}$


•   $\mathtt{x+4<3x}$

$\mathtt{x-3x<-4}\\\\ \mathtt{-2x<-4}$


Dividindo os dois lados por (– 2), que é negativo, o sentido da desigualdade se inverte:

( o sinal "<" torna-se ">" )

$\mathtt{x>\dfrac{-4}{-2}}\\\\\\ \mathtt{x>2}$


Solução da inequação $\mathtt{(ii)}:$

$\begin{array}{cc} \mathtt{S_{(ii)}}&\quad\mathtt{\underline{\quad\quad\quad\quad}\underset{2}{\circ}\underline{*****\,*}} \end{array}$

__________

A solução da dupla desigualdade é a interseção das soluções das duas inequações separadas:

$\begin{array}{cc} \mathtt{S_{(i)}}&\quad\mathtt{\underline{\,***\,*}\underset{2}{\bullet}\underline{*****\,*}\underset{4}{\circ}\underline{\quad\quad\quad}} \\\\\mathtt{S_{(ii)}}&\quad\mathtt{\underline{\quad\quad\quad}\underset{2}{\circ}\underline{*****\,*}}\underset{4}{\bullet}\underline{***\,*\,\,}\\\\ \mathtt{S_{(i)}\cap S_{(ii)}}&\quad\mathtt{\underline{\quad\quad\quad}\underset{2}{\circ}\underline{*****\,*}}\underset{4}{\circ}\underline{\quad\quad\quad} \end{array}$


Conjunto solução:

$\mathtt{S=\{x\in\mathbb{R}:~2<x<4\}}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathtt{S=(2,\,4)}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

    2x < x + 4 < 3x

2x < x+4
2x - x < 4
       x< 4

x + 4 < 3x
4 < 3x - x
4 < 2x
2x > 4 --> x > 2
    
       Resposta:   4 > x > 2