Question

O raio de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de 3cm/ s . Com que taxa estará variando o volume da esfera no instante em que r=2cm?

Answer 1

Dados:

$\dfrac{dR}{dt}=3cm/s\\R=2cm$

$\mathsf{V=\dfrac{4}{3}.\pi.{R}^{3}}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=4.\pi.{R}^{2}.\dfrac{dR}{dt}}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt} =4.\pi.{2}^{2}.3}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=48\pi{cm}^{3}/s}}}$

Answer 2

O volume da esfera está variando a uma taxa de 48π cm³/s. Para encontrar esse valor, deve-se saber como calcular a taxa de variação de uma função e a sua relação com o cálculo de derivadas.

Como calcular a taxa de variação?

Devemos lembrar que o volume da esfera é uma função do raio:

V(r) = 4πr³/3

A taxa de variação do volume no tempo é a derivada desse volume sobre essa variável.

V'(r) = 4π*(r³)'/3

Como o volume é função do raio e o raio está variando no tempo, deve-se utilizar a regra da cadeia para calcular essa derivada:

(r³)' = 3r²*r'

Assim, substituindo na equação:

V'(r) = 4π*3r²*r'/3

V'(r) = 4πr²r'

Agora, sabendo que a taxa de variação do raio é de 3 cm/s e pede-se a taxa de variação quando r = 2 cm, temos:

V'(2) = 4π*2²*3

V'(2) = 48π cm³/s

Para aprender mais sobre taxa de variação, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/49836000

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