Question

O raio da circunferência de centro (4;y), com y € Z, é tangente as retas x+y-2=0 e x-7y+2=0. Quanto vale o raio dessa circunferência?

Answer 1

As alternativas são:

a) 4

b) 5

c) 4√2

d) 5√2

e) 6√2

Solução.

Como as retas x + y = 2 e x - 7y = -2 são tangentes à circunferência, então podemos afirmar que a distância entre o centro (4,y) e as retas são iguais a medida do raio. Mais precisamente: a distância do centro às retas são iguais.

Sendo assim, utilizaremos a fórmula da distância entre ponto e reta:

$\frac{|1.4+1.y-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|1.4-7.y+2|}{\sqrt{1^2+(-7)^2}}$

$\frac{|y+2|}{\sqrt{2}}= \frac{|-7y+6|}{\sqrt{50}}$

5|y + 2| = |-7y + 6|.

Daí, considerando y + 2 > 0, temos duas possibilidades:

{5(y + 2) = -7y + 6

{5(y + 2) = 7y - 6

Da primeira equação, temos que:

5y + 10 = -7y + 6

12y = -4

y = -1/3 → esse valor de y não é válido, pois y ∈ Z.

Da segunda equação, temos que:

5y + 10 = 7y - 6

2y = 16

y = 8

Portanto, o raio da circunferência é igual a:

$r = \frac{|8+2|}{\sqrt{2}}$

$r=\frac{10}{\sqrt{2}}$

r = 5√2.

A alternativa correta é a letra d).