O ponto A(1, 8) é vertice de um triângulo equilátero ABC cuja reta suporte do lado BC tem equação 3x+4y+10=0. Calcule: A) a medida h da altura desse triângulo. B) a área desse triângulo.
Soluções para a tarefa
a) Perceba que a altura h de ABC corresponde à perpendicular a BC que passa por A, então basta calcularmos a distância de A à reta r: 3x + 4y + 10 = 0.
Fórmula de distância de um ponto (x0, y0) à reta ax + by + c = 0:
d(ax + by + c = 0, (x0, y0)) = |ax0 + by0 + c|/sqrt(a^2 + b^2)
d(3x + 4y + 10 = 0), (1, 8)) = |3.1 + 4.8 + 10|/sqrt(3^2 + 4^2)
= |3 + 32 + 10|/sqrt(9 + 16)
= |45|/sqrt(25)
= 45/5
= 9 u.c.
b) Observe que, se l é a medida do lado deste triângulo, sua área vale l.h/2. Entretanto, sabemos que a fórmula de altura do triângulo equilátero em função de sua área é
h = l.sqrt(3)/2
9 = l.sqrt(3)/2
l = 18/sqrt(3) = 18sqrt(3)/3 = 6sqrt(3) u.c.
Logo, sua área vale
lh/2 = [6sqrt(3)].(9)/2 = 27sqrt(3) u.a..
Um adendo: sqrt(x) é a forma de digitar raiz quadrada de x em computadores.