Question

O pentágono apresentado na figura acima possui área igual a
a) 60 – 18cotg(θ).
b) 60 + 18cotg(θ).
c) 60 – 18tg(θ).
d) 60 + 18tg(θ).
e) 60 – 18cos(θ

Answer 1

O pentágono apresentado na figura acima possui área igual a 60 + 18cotg(θ).

Considere a imagem abaixo.

Os segmentos AG e BF possuem a mesma medida. Logo, BF = 6.

O mesmo acontece com os segmentos FG e AB.

Como o segmento EG mede 10, então EF = 6. Assim, podemos afirmar que BCEF é um quadrado de lado 6.

Os ângulos BDC e θ são suplementares. Sendo assim, BDC = 180 - θ.

Utilizando a razão trigonométrica tangente no triângulo retângulo BCD, obtemos:

$tg(180-\theta)=\frac{6}{CD}$.

A tangente da diferença é definida por:

• $tg(a-b)=\frac{tg(a)-tg(b)}{1+tg(a).tg(b)}$.

Sabendo que tg(180) = 0, podemos afirmar que tg(180 - θ) = -tg(θ).

Dito isso:

-tg(θ) = 6/CD

CD = 6/(-tg(θ))

CD = -6.cotg(θ).

O segmento DE mede:

DE = 6 - (-6.cotg(θ))

DE = 6 + 6.cotg(θ).

A área do pentágono é igual à soma entre as áreas do retângulo ABFG e do trapézio BDEF.

Portanto, podemos concluir que a área do pentágono é igual a:

$S=6.4 + \frac{(6 + 6 + 6.cotg(\theta)).6}{2}$

S = 24 + (12 + 6.cotg(θ)).3

S = 24 + 36 + 18.cotg(θ)

S = 60 + 18.cotg(θ).