Question

O número de divisores positivos de 10^2015 que são múltiplos de 10^2000 é?

Answer 1

Um número múltiplo de $10^{2000}$ pode ser escrito como $10^{2000}k$. Como esse número divide $10^{2015}$:

$\dfrac{10^{2015}}{10^{2000}k}=\dfrac{10^{15}}{k}$

Logo, concluímos que k divide $10^{15}$, isto é, k é um dos divisores desse número. Com isso, o nosso problema se reduz a procurar o número d de divisores de $10^{15}$:

$10^{15}=(2\cdot5)^{15}=2^{15}\cdot5^{15}\\\\ d=(15+1)(15+1)=16\cdot16\Longrightarrow\boxed{d=256}$

Answer 2

Divisão de potência de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes.

10²⁰¹⁵ é múltiplo de 10²⁰⁰⁰, a divisão do primeiro pelo segundo é exata, ou seja:

10²⁰¹⁵ : 10²⁰⁰⁰ = 10¹⁵

Basta agora determinar quantos divisores tem 10¹⁵

Sendo N = aⁿ . bˣ , onde a e b são números primos, o número de divisores de

N é dado por (n + 1)(x + 1)

10¹⁵ = (2.5)¹⁵ = 2¹⁵ . 5¹⁵ => n(d) = (15 + 1)(15 + 1) =16.16 = 256

Outro modo

10²⁰¹⁵       2²⁰¹⁵.5²⁰¹⁵
--------- =  ---------------
10²⁰⁰⁰       2²⁰⁰⁰.5²⁰⁰⁰
De 2²⁰⁰⁰ a  2²⁰¹⁵ são divisores de 2²⁰¹⁵ que são 16 números,  são múltiplos de 2²⁰⁰⁰
De 5²⁰⁰⁰ a  5²⁰¹⁵ são divisores de  5²⁰¹⁵ que são 16 números, são múltiplos de 5²⁰⁰⁰

Logo, o total de divisores de 10²⁰¹⁵ que são múltiplos de 10²⁰⁰⁰ são 16.16 = 256