Question

O número de alunos matriculados na Escola Municipal
de Pirajuba permanece o mesmo desde 2011.

Em 2012, foram construídas 5 novas salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 6 alunos em relação à média de 2011.

Em 2013, foram construídas mais 5 salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 5 alunos em relação à média de 2012.

Quantos alunos tem a Escola Municipal de Pirajuba?

Answer 1

Seja Tot a quantidade de alunos na escola, QtdS a quantidade de Salas de aula em 2011 e QtdA a quantidade de Alunos por sala em 2011. Então em 2011 nós tínhamos Tot = QtdS × QtdA. Em 2012 Tot = (QtdS+5) × (QtdA-6). E em 2013 Tot = ( QtdS+10) × (QtdA-11)... 2012: Tot = QtdS × QtdA - 6 QtdS + 5 QtdA - 30... 2013: Tot = QtdS × QtdA - 11 QtdS + 10 QtdA - 110... Como Tot = QtdS × QtdA temos: 2012: Tot = Tot - 6 QtdS + 5 QtdA - 30 2013: Tot = Tot - 11 QtdS + 10 QtdA - 110 Portanto: - 6 QtdS + 5 QtdA - 30 = 0 e - 11 QtdS + 10 QtdA - 110 = 0. Multiplica a primeira por -2 e faz um sistema de equações somando uma com a outra... 12 QtdS - 10 QtdA + 60 = 0 com -11 QtdS + 10 QtdA - 110 = 0 fica QtdS - 50 = 0. Achou QtdS = 50. Substitui em uma anterior: -6 × 50 + 5 QtdA - 30 = 0 ... -300 + 5 QtdA = 30 ... 5 QtdA = 330 ... QtdA = 66. Finalmente achamos Tot = QtdS × QtdA = 50 × 66 = 3300. São 3300 alunos. Em 2011 tinha 50 salas e 66 alunos por sala. Em 2012 tinha 55 salas e 60 alunos por sala. E em 2013 tinha 60 salas com 55 alunos por sala.

Answer 2

Sejam $a$ e $s$ o número de alunos e salas da Escola Municipal de Pirajuba em $2011$.

Assim, a média de alunos por sala em 2011 é $m=\dfrac{a}{s}$, ou seja, $a=ms$.

Pelo enunciado, em 2012, foram construídas 5 novas salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 6 alunos em relação à média de 2011.

Com isso, $\dfrac{a}{s+5}=m-6$, logo, $(s+5)(m-6)=a~~(i)$.

Além disso, em 2013, foram construídas mais 5 salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 5 alunos em relação à média de 2012.

Logo, $\dfrac{a}{s+10}=m-11$, ou seja, $(s+10)(m-11)=a$.

De (i), temos $ms-6s+5m-30=a$, lembrando que, $a=ms$, obtemos $5m-6s=30$.

De (ii), temos $ms-11s+10m-110=a$, donde, $10m-11s=110$.

Obtemos assim, $\begin{cases} 5m-6s=30 \\ 10m-11s=110\end{cases}$.

Multiplicando a primeira equação por $-2$, temos:

$\begin{cases} -10m+12s=-60 \\ 10m-11s=110 \end{cases}$

Somando as equações membro a membro, obtemos $s=110-60=50$.

Substituindo esse valor na primeira equação, temos

$5m-6\cdot50=30$, donde, $5m=330$, isto é, $m=66$.

Logo, a resposta é $a=ms=66\cdot50=3~300$ alunos.