Question

O movimento de uma certa massa em uma mola é descrito por:

x′′+2x′+2x=5sen(t)

a) Qual é a amplitude das oscilações periódicas constantes resultantes?

b) Suponha que a massa esteja inicialmente em repouso, ou seja, x(0)=0 e x′(0)=0, encontrar a função posição x(t).

Answer 1

Resposta:

Letra a)

Pra determinar a amplitude, encontre a solução particular. Dado que

$\sf x''+2x'+2x=5\,sen(t)$

, ela será definida por:

 

• $\sf x_p(t)=A_1\,cos(t)+A_2\,sen(t)$

• $\sf x_p'(t)=-A_1\,sen(t)+A_2\,cos(t)$

• $\sf x_p''(t)=-A_1\,cos(t)-A_2\,sen(t)$

 

Substituindo na equação inicial:

 

$\begin{array}{l}\sf (-A_1\,cos(t)-A_2\,sen(t))+2(-A_1\,sen(t)+A_2\,cos(t))+2(A_1\,cos(t)+A_2\,sen(t))=5\,sen(t)\\\\\sf-A_1\,cos(t)-A_2\,sen(t)-2A_1\,sen(t)+2A_2\,cos(t)+2A_1\,cos(t)+2A_2\,sen(t)=5\,sen(t)\\\\\sf A_1\,cos(t)+A_2\,sen(t)-2A_1\,sen(t)+2A_2\,cos(t)=5\,sen(t)\\\\\sf (A_1+2A_2)cos(t)+(A_2-2A_1)sen(t)=0\,cos(t)+5\,sen(t)\\\\\sf A_1+2A_2=0~(i),~A_2-2A_1=5~(ii)\end{array}$

 

Resolvendo este sistema a fim de determinar os coeficientes, encontra-se:

• $\sf A_1=-\,2~e~A_2=1$

Logo:

 

$\sf x_p(t)=-\,2\cdot cos(t)+1\cdot sen(t)$

$\sf x_p(t)=-\,2\,cos(t)+sen(t)$

 

Portanto, concluí-se que:

$\red{\boldsymbol{\sf Amplitude=\sqrt{(-2)^2+(1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}}}$

 

Letra b)

Será necessário determinar a solução geral. Para isso, é necessário termos as soluções homogênea e particular. Considere

$\sf x''+2x'+2x=0$

, supondo $\sf x(t)=e^{\lambda t}$, temos:

 

$\begin{array}{l}\sf (e^{\lambda t})''+2(e^{\lambda t})'+2(e^{\lambda t})=0\\\\\sf((e^{\lambda t})'(\lambda t)')'+2(e^{\lambda t})'(\lambda t)'+2e^{\lambda t}=0\\\\\sf(e^{\lambda t}\lambda)'+2e^{\lambda t}\lambda +2e^{\lambda t}=0\\\\\sf(e^{\lambda t})'\lambda+2e^{\lambda t}\lambda +2e^{\lambda t}=0\\\\\sf(e^{\lambda t})'(\lambda t)'\lambda+2e^{\lambda t}\lambda +2e^{\lambda t}=0\\\\\sf e^{\lambda t}\lambda^2+2e^{\lambda t}\lambda +2e^{\lambda t}=0\end{array}$

Colocando $\sf e^{\lambda t}$ em evidência:

$\begin{array}{l}\sf(\lambda^2 +2\lambda+2)e^{\lambda t}=0\\\\\sf\lambda^2 +2\lambda+2=0,~e^{\lambda t}\neq0\end{array}$

 

Agora resolva $\lambda$ por Bhaskara:

 

$\begin{array}{l}\sf \lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow\lambda=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4(1)(2)}}{2(1)}\\\\\sf\lambda=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}\Rightarrow\lambda=\dfrac{-2\pm\sqrt{-\,4}}{2}\\\\\sf\lambda=\dfrac{-2\pm\sqrt{-\,1(4)}}{2}\Rightarrow\lambda=\dfrac{-2\pm\sqrt{4}\sqrt{-\,1}}{2}\\\\\sf\lambda=\dfrac{-2\pm2i}{2}\Rightarrow\lambda=-1\pm i\\\\\sf\lambda_1=-1+i~e~\lambda_2=-1-i\end{array}$

 

Assim, por serem raízes complexas temos que a solução homogênea é:

 

$\sf x_h(t)=e^{at}[c_1cos(bt)+c_2sen(bt)]$

$\sf x_h(t)=e^{-t}[c_1cos(t)+c_2sen(t)]$

 

Com a soma das soluções encontradas, temos a solução geral:

$\sf x(t)=x_h(t)+x_p(t)=e^{-t}[c_1cos(t)+c_2sen(t)]-2\,cos(t)+sen(t)$

 

Se x(0) = 0, então:

$\sf x(0)=e^{-0}[c_1cos(0)+c_2sen(0)]-2\,cos(0)+sen(0)=0$

$\sf 1[c_1\cdot1+c_2\cdot0]-2\cdot1+0=0$

$\sf c_1+0-2=0$

$\underline{\sf c_1=2}$

 

E, se x'(0) = 0, então:

$\sf x'(t)=-e^{-t}[c_1cos(t)+c_2sen(t)]+e^{-t}[-c_1sen(t)+c_2cos(t)]+cos(t)+2sen(t)$

$\sf x'(0)=-e^{-0}[c_1cos(0)+c_2sen(0)]+e^{-0}[-c_1sen(0)+c_2cos(0)]+cos(0)+2sen(0)=0$

$\sf -1[c_1\cdot1+c_2\cdot0]+1[-c_1\cdot0+c_2\cdot1]+1+2\cdot0=0$

$\sf -c_1-0-0+c_2+1+0=0$

$\sf c_2-c_1+1=0$

$\sf c_2=c_1-1$

$\sf c_2=2-1$

$\underline{\sf c_2=1}$

 

Portanto, a função posição x(t) requerida é:

$\red{\boldsymbol{\sf x(t)=e^{-t}[2cos(t)+sen(t)]-2\,cos(t)+sen(t)}}$