O máximo divisor comum de dois números a e b é 20. Para se chegar a esse resultado pelo processo das divisões sucessivas, os quocientes foram, pela ordem, 2,1,3 e 2. Os números a e b são:
A) a=40; b=20
B) a=180;b=340
C) a=180; b=500
D) a=300; b=380
E) a=500; b=140
Soluções para a tarefa
Pelo algoritmo de Euclides encontramos como resultado a letra e
Algoritmo de Euclides
O cálculo do MDC de dois números naturais pode ser feito usando-se a seguinte regra:
1.Divide-se o maior n° pelo menor,obtendo-se um quociente e um resto.Se esse resto for zero,então o menor desses números é o mdc.
2.Se o resto mencionado no 1° passo não for zero, divide-se o menor dos números por esse resto obtendo-se novamente um quociente e um 2° resto.Se esse 2° resto for zero,então 1° resto é o mdc.
3.Repete-se o processo até que se obtenha um resto zero.Nesse momento,pode-se concluir que o penúltimo resto, isto é, o ultimo divisor é o mdc procurado.
Observação: Essa regra é conhecida como algoritmo de Euclides(Euclides de Alexandria,matemático grego do século III a.C)
1ª Divisão: Sendo a e b números naturais e respectivamente dividendo e divisor,teremos que a:b gera um resto que vou chamar de x e o quociente 2.Logo,temos a seguinte relação:
a=2b+x
2ª Divisão: Nessa segunda divisão o nosso dividendo será o b e nosso divisor será o x,ou seja,b:x gera um resto y e o quociente 2.Logo,teremos a seguinte relação:
b=x+y
3ª Divisão: Na terceira divisão o nosso dividendo é o x e nosso divisor será o y,ou seja,x:y gera um resto z e o quociente 3.Logo,teremos a seguinte relação:
x=3y+z
4ª Divisão: Na quarta divisão o nosso dividendo é y e o nosso divisor será o 20 o Z que o mdc,ou seja,y:20 gera o resto 0 e o quociente 2.Logo,teremos a seguinte relação:
y=40 e z=20
Agora podemos regressar e determinar os outros valores. x=3y+z ou seja x=3*40+20=140
b=x+y ou seja b=140+40=180
a=2b+x ou seja a=2*180+140=360+140=500
Portanto,a=500 e b=180 portanto letra e)
Observação: A letra e) temos a=500 e b=140,porem deve ter sido algum erro de digitação.
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