O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q)=-4q2+1.000q-12.000 reais, para q variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:
Soluções para a tarefa
O lucro máximo que pode ser obtido é de R$ 50.500,00.
Ponto máximo da equação de segundo grau
Equação de segundo grau
A equação fornecida no enunciado é uma equação de segundo grau, caracterizada por este formato, chamado de polinômio de segundo grau:
ax²+bx+c.
Identificando os coeficientes da equação, utilizando o polinômio de segundo grau, temos:
a=-4
b= 1000
c= -12000
Esse tipo de equação pode ser representada através de um gráfico em formato de uma parábola.
Além disso, é possível notar que, devido ao fato do coeficiente a ser negativo (-4), a concavidade desta parábola será para baixo.
Observação
- O enunciado diz que precisamos identificar o lucro máximo referente ao intervalo de 0 a 180 unidades produzidas e vendidas.
- Ao pedir o lucro máximo, precisamos encontrar o ponto máximo desta parábola.
Ponto máximo
Para descobrir a coordenada do ponto máximo de uma equação de segundo grau, é necessário calcular o vértice da parábola, através das seguintes equações:
onde:
Yv - é o valor no eixo Y que está o ponto máximo
Xv - é o valor no eixo X que está o ponto máximo
Dito isso, vamos a resolução do problema:
1º Passo - Calcular se o Xv está no intervalo dado no enunciado:
- Isso significa, que o lucro máximo é obtido com a produção e venda de 125 produtos.
Como o valor de Xv está dentro do intervalo entre 0 e 180, então temos duas formas de chegar no mesmo resultado:
- Utilizando a fórmula do eixo Y do vértice da parábola (Yv);
- Substituir a quantidade de produtos encontrada (125) na equação dada no enunciado.
2º Passo - Calcular o lucro máximo
- Usando a fórmula do Yv:
O símbolo no numerador é chamado de DELTA da equação de segundo grau, que pode ser calculado através da sequinte fórmula:
Cotinuando a resolução:
Portanto, o lucro máximo que pode ser obtido é de R$ 50.500,00.
- Agora, vamos resolver substituindo a variável q por 125 na equação dada no enunciado:
Note que, pelo fato de encontrarmos o número de produtos que darão o lucro máximo, as duas equações deram certo.
Observação:
- Caso o valor encontrado na equação do Xv não estivesse no intervalo dado no exercício, basta substituir na equação fornecida pelo enunciado o valor do intervalo que fica mais próximo do resultado dado em Xv.
- Ex: se o intervalo dado fosse de 0 a 100, utilizaria o 100 para substituir na equação, mas se fosse de 130 a 200, o valor utilizado seria o de 130.
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