Question

O lucro diário (L) de uma fábrica consiste na receita (R) menos o gasto de produção (C). Nessa fábrica, a receita gerada e o custo (dados em reais) são dados pelas funções R(x)= 60x- x^2 e C(x)= 10(x+40), em que x é o número de itens produzidos naquele dia. Como a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, calcule:
a) o número mínimo de itens que devem ser produzidos para que a fábrica não tenha prejuízo.
b) quantos itens devem ser produzidos para que o lucro da fábrica seja máximo.
c)qual é o valor do lucro máximo em reais

Answer 1

A função lucro dessa fábrica será igual a:

L(x) = 60x - x² - 10(x+40)

L(x) = 60x - x²- 10x - 400

L(x) = -x² + 50x - 400

a)  Para que a empresa não tenha prejuízo, o lucro deve ser maior ou igual a zero, logo:

L(x) ≥ 0

-x² + 50x - 400 ≥ 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara, encontramos:

x' = 10

x'' = 40

O número mínimo a ser produzido é de 10 itens.

b) O número de itens a serem produzidos para maximizar o lucro pode ser encontrado pela coordenada x do vértice, dada por:

xv = -b/2a

xv = -50/2(-1)

xv = 25 itens

c) O lucro máximo será:

Lmáx = -x² + 50x - 400

Lmáx = -25² + 50.25 - 400

Lmáx = R$225,00