Question

O lampião representado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo-se que essas cordas medem 1/2 e 6/5, a distância do lampião ao teto é:
A) 1,69
B) 1,3
C) 1/2
D) 6/13

Answer 1

As cordas que mantém o lampião suspenso são catetos de um triângulo retângulo (b = 1/2 e c = 6/5). A distância do lampião ao teto é a altura do triângulo (h). 

Então, vamos chamar aos vértices do triângulo de:

A - ponto que sustenta o lampião
B e C pontos de contato da corda com o teto. Então
AB = 1/2
AC = 6/5
H = ponto da interseção da perpendicular traçada pelo vértice A ao lado BC. Então:
AH = altura do triângulo e distância do lampião ao teto.

Para obtermos o valor da altura AH, vamos usar as relações de proporção que existem entre os triângulos ABC e HAC.
Como não conhecemos o valor da projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (CH), vamos começar calculando o valor da hipotenusa (BC), o que pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras:

BC² = AC² + AB²
BC² = (6/5)² + (1/2)²
BC² = 36/25 + 1/4
BC² = 144/100 + 25/100
BC² = 169/100
BC = √169/100

BC = 13/10, medida da hipotenusa BC

Uma vez conhecida a hipotenusa, vamos agora calcular a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (CH)
.
Como os triângulos HAC e ABC são semelhantes, podemos escrever que:

CH/CA = CA/BC
CH = CA² ÷ BC
CH = (6/5)² ÷ 13/10
CH = 36/25 ÷ 13/10
CH = 36/25 × 10/13
CH = 360/325

CH = 72/65, valor da projeção do cateto AC sobre a hipotenusa

Vamos agora verificar a relação que podemos obter da semelhança entre os triângulos ABC e HAC, para obtermos o valor da altura (AH):

cateto maior/cateto menor = cateto maior/cateto menor

AC/AB = CH/AH

6/5 ÷ 1/2 = 72/65 ÷ AH
6/5 × 2/1 = 72/65 × 1/AH
12/5 × 65/72 = 1/AH
780/360 = 1/AH
AH = 360/780

AH = 6/13

R.: A distância do lampião ao teto é igual a 6/13