Question

O lado do quadrado na figura da direita mede 1, e M é o ponto médio de BC.
(a) Escreva os vetores DM e BD como combinação linear dos vetores DC e DA.
(b) Calcule a medida angular entre os vetores DM e BD.
(c) Seja ß = {i,j.k}. Determine x dee modo que u = (x + 1,1,2) e u = (x - 1, -1, -2), sejam ortogonais.

Obs.: Anexei a figura do quadrado da letra (a).

Answer 1

a)
Imagem anexada
$\displaystyle\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$

$\displaystyle\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}$

b) Como $\displaystyle\overrightarrow{DA}$ = (-j^) e $\displaystyle\overrightarrow{DC}$ = (i^)

$\displaystyle\overrightarrow{DM}$ = ($\displaystyle-\frac{1}{2}$j^+i^)
$\displaystyle\overrightarrow{BD}$ = (j^-i^)

$\displaystyle\overrightarrow{DM}$.$\displaystyle\overrightarrow{BD}$ = |$\displaystyle\overrightarrow{DM}$|.|$\displaystyle\overrightarrow{BD}$| cos θ = ($\displaystyle-\frac{1}{2}$j^+i^).(j^-i^) = -$\displaystyle\frac{3}{2}$

|$\displaystyle\overrightarrow{DM}$| = $\displaystyle\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+1^{2}}$ = $\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}$

|$\displaystyle\overrightarrow{BD}$| = $\displaystyle\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}$ = √2

Logo,
cos θ = $\displaystyle\frac{3}{\sqrt{10}}$
cos θ = $\displaystyle\frac{3\sqrt{10}}{10}$
θ = $\displaystyle Arccos (\frac{3\sqrt{10}}{10})$

c)
u = (x+1,1,2)
v = (x-1,-1,-2)
Se u é ortogonal a v,
u.v = 0
(x+1)(x-1) - 1 - 4 = 0
x² - 1 = 5
x² = 6
x = ±√6

x = √6 ou x = -√6