Question

o lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três números em progressão geométrica. A área total desse cubo é:

Answer 1

Aresta do cubo: a
Diagonal da face do cubo: Diagonal de um quadrado de lado 'a': a√2
Volume do cubo: a³

$P.G~(a,~a\sqrt{2},~a^{3})$

Em uma P.G, sabemos que $(a_{2})^{2}=a_{1}\cdot a_{3}$, logo:

$(a\sqrt{2})^{2}=a\cdot a^{3}\\a^{2}\sqrt{2^{2}}=a^{4}\\a^{2}\cdot2=a^{4}$

Como 'a' não pode ser zero, dividimos os 2 lados da equação por a²:

$2=a^{2}~~~~\therefore~~~~a=\sqrt{2}$

A área total de um cubo é a soma das áreas de seis quadrados de lado 'a':

$A_{t}=6a^{2}\\A_{t}=6\cdot\sqrt{2^{2}}\\A_{t}=6\cdot2\\\\\boxed{\boxed{A_{t}=12}}$

Answer 2

A área total desse cubo é 12 unidades de área.

Progressão geométrica

Uma progressão geométrica é caracterizada por uma sequência de valores crescentes, decrescentes ou alternados, onde a razão entre um valor e seu antecessor é sempre constante. O termo geral da P.G. é dado por aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, sendo q a razão calculada por q = aₙ₊₁/aₙ.

O lado de um cubo mede 'a', a diagonal de uma das faces mede 'a√2' e o volume é a³, então:

• a₁ = a

• a₂ = a√2

• a₃ = a³

A razão da PG é:

q = a₂/a₁ = a₃/a₂

q = a√2/a = a³/a√2

q = √2 = a²√2/2

Podemos encontrar o valor de a:

√2 = a²√2/2

1 = a²/2

a² = 2

a = √2

A área total do cubo é:

At = 6a²

At = 6·√2²

At = 12

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