Question

o grafico de uma função f é uma parábola que passa pelos pontos (1,0),(3,0) e (2,-1).o grafico da função g é uma reta que passa por (1,0) e (0,-1).resolva a equação f (x)=g(x)

Answer 1

Para a primeira parte temos que é uma parábola, portanto sabemos que é uma Equação do segundo grau. Com isso temos:
f(x)= ax²+bx+c            A questão nos deu: A: (1,0)
                                                                   B:(3,0)
                                                                   C:(2,-1)

Agora substituímos cada uma na função, dessa maneira: 
1) a.1²+b.1+c=0..... Isolando o c temos c= -a -b 
2) a.3² + b.3 + c= 0 => 9a +3b + c=0 
3) a.2²+ b.2 + c = -1 => 4a+2b +c= -1 

Com isso agora é só substituir o o valor que encontramos de c na segunda e terceira, teremos:

2) 9a +3b + c=0                                                                                      
    9a +3b - a - b=0                                                                                  
    9a +3b = a+b                                                                                     
    9a-a + 3b-b= 8a+2b  
 
 3)  4a+2b +c= -1
      4a+2b -a - b= -1
      4a+2b = -1 +a +b
      4a-a + 2b-b= -1
       3a+b= -1
 
    Agora chegamos no seguinte sistema:                                                          
8a+2b  
3a+b= -1
 Resolvendo esse sisteminha por substituição chegamos no seguinte resultado: 
a:1 b:-4 e c:3

Assim obtemos F(X)= x²-4x+3  (Resolvendo essa equação pelo método de Baskara você irá tirar a prova).

Na parte dois a questão nos da uma reta, então sabemos que é uma equação de primeiro grau, com isso temos:

G(x)= ax+b                      A(1,0) 
                                        B(0,-1) 

Substituindo: 
a.1 + b = 0 
a.0 + b = -1 

Com isso tem: b=-1 e a=1             G(x)= x - 1 


Como a questão nos pede, f(x)=g(x)....

x²-4x+3 = x - 1 
x²-4x-x+3+1
x²-5x+4......Resolvendo por Baskara chegamos em :

1º x = 1 
2º x = 4 
S=(1,4)
 Percebe que se tivéssemos parado na primeira parte já teríamos a resposta que queremos, porém matemática é assim, temos que ir até o fim para obter o resultado exato e ter a certeza desse resultado. Abraços

Answer 2

A solução da equação proposta é S = {1; 4}

Função do segundo grau

Uma parábola é formada por uma função do segundo grau do tipo:

f(x) = ax² + bx + c

Mas também pode ser escrita como:

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

que é muito mais interessante, pelos pontos dados, pois x₁ e x₂ são as raízes, ou seja, os pontos em que f(x) = 0. Esses pontos são dados no enunciado. Assim sendo x₁ = 1 e x₂ = 3.

Como a parábola é simétrica, o terceiro ponto que fica exatamente entre as raízes é o vértice (2, -1). Substituímos na função para tentar escrevê-la:

f(x) = a(x - 1)(x - 3)

f(2) = a(2 - 1)(2 - 3) = -1

-a = -1

a = 1

f(x) = (x - 1)(x - 3) = x² - 4x + 3

Função do primeiro grau

Uma reta é formada por uma função do primeiro grau do tipo:

g(x) = ax + b

Substituindo os pontos dados temos o sistema de equações:

$\left \{ {{a \cdot 1 + b = 0} \atop {a \cdot 0 + b = -1}} \right.$

De onde tiramos que b = -1

a + b = 0

a - 1 = 0

a = 1

g(x) = x - 1

Equação do segundo grau

Quando fazemos f(x) = g(x) temos uma equação do segundo grau para resolver:

x² - 4x + 3 = x - 1

x² - 5x + 4 = 0, com a = 1, b = -5 e c = 4

$\Delta = b^2 - 4ac\\x = \frac{-b \pm \sqrt \Delta }{2a}$

$\Delta = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot 4\\\Delta = 25 - 16 = 9\\\\x = \frac{-(-5) \pm \sqrt 9} {2\cdot 1}\\x = \frac{5 \pm 3} {2}\\\\\\x_1 =\frac{5+3}{2}= \frac{8}{2} = 4\\x_2 =\frac{5-2}{2}= \frac{2}{2} = 1$

Veja mais sobre funções do primeiro e do segundo graus em

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