Question

O gráfico da Função do segundo grau definida por Y = mx² - (m-1)x + (m-1)x + m intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos se e somente se, m satisfazer a condição:

a resposta é : -1 < m < 0 < m < 1/3

Quero saber o por que?

Answer 1

O gráfico dessa função do segundo representa uma parábola.

O número de vezes que essa parábola irá cortar o eixo das abscissas dependerá da quantidade de raízes reais dessa função.

Para que corte duas vezes, ela precisa ter duas raízes reais, logo ao calcularmos o Δ na equação de Bháskara, este deve ser maior que zero.

$(m-1)^2-4m(m-1)>0$
$m^2-2m+1-4m^2+4m>0$
$-3m^2+2m+1>0$
$3m^2-2m-1<0$
$(3m+1)(m-1)<0$

Daqui teremos:
$\frac{-1}{3}<m<1$

Sabemos ainda que m não pode ser zero pois a função deixaria de ser do segundo grau, dessa forma teremos:
$\frac{-1}{3}<m<0$ ou $0<m<1$