O gráfico a seguir representa o rendimento bruto R(q) de um empresa em função da quantidade q de produtos fabricados mensalmente. Os valores de R são expressos em milhares de reais, e a quantidade produzida q, em milhares de unidades. Sabe-se que a curva representada em uma parábola.
A) Qual é a expressão algébrica da função R(q) ?
B) Qual é o rendimento bruto máximo ?
C) Qual é a quantidade produzida que maximiza o rendimento bruto da empresa ?
D) Qual é o rendimento bruto que a empresa obtém para a produção de 15 mil unidades ? E de 20 mil unidades ? Como interpretar este último resultado ?
ME AJUDE POR FAVOR
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Lau, já resolvemos esta questão duas vezes e tentamos enviar a resposta, mas a plataforma não "deixou" sob a alegativa de que a minha resposta havia ultrapassado ao limite mínimo de dígitos. Vou tentar, agora, ser o mais breve possível para ver se consigo enviar a resposta.
i) Note que o gráfico anexado por foto é de uma equação do 2º grau, cujas raízes são q' = 0 e q'' = 16.000 (note que está registrado "16", mas como está informado que cada unidade "q" produzida está expressa em mil unidades, então onde tem "16" deveremos considerar "16.000" unidades produzidas,ok?
ii) Note que uma equação do 2º grau, com raízes iguais a x' e x'' poderá ser fatorada em função de suas raízes da seguinte forma:
ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x'') ---- no caso da sua questão, temos que:
aq² + bq + c = a*(x-0)*(x-16.000) ---- efetuando o produto, teremos:
aq² + bq + c = ax² - 16.000ax ---- Assim, a equação R(q) será esta:
R(q) = ax² - 16.000ax . (I)
Note que esta é uma equação do 2º grau incompleta, pois lhe falta o termo "c". Por isso, consideramos que c = 0. Só há os termos "a" (que é o coeficiente de x²) e o termo "b" (que é igual a "-16.000a" e que é o coeficiente de x).
iii) Agora vamos para a outra informação segundo a qual o rendimento máximo é igual a 64.000 (está registrado apenas "64", mas como é R(q) está expressa em milhares de reais, então "64" equivale a "64.000", ok?). E o rendimento máximo é dado pelo "y" do vértice (yv), cuja fórmula é esta:
yv = - (b²-4ac)/4a ---- substituindo-se "yv" por "64.000"; substituindo-se "b" por "-16.000a" e substituindo-se "c" por "0", teremos:
64.000 = - ((-16.000a)² - 4*a*0)/4a ---- desenvolvendo, teremos:
64.000 = - (256.000.000a² + 0)/4a ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
4a*64.000 = - 256.000.000a² ----- efetuando os produtos indicados, temos;
256.000a = - 256.000.000a² ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "-256.000a", com o que ficaremos apenas com:
- 1 = 1.000a ---> ou: 1.000a = - 1 ---> a = -1/1.000 ---> a = - 0,001 <--- Este será o valor de "a", que vamos levar para a expressão (I) e que é esta:
R(q) = - ax² - 16.000ax ---- substituindo-se "a" por "-0,001", teremos:
R(q) = -0,001x² - 16.000*(-0,001x) ---- efetuando os produtos indicados, temos:
R(q) = - 0,001x² + 16x <---- esta é a representação da equação do 2º grau cujo gráfico está anexado por foto.
iv) Agora vamos responder aos itens "a", "b", "c" e "d":
a) Qual é a expressão algébrica da função R(q) ? ---- veja que é a que demos logo aí em cima e que é esta:
R(q) = - 0,001x² + 16x <-- Esta é a resposta para o item "a".
b) Qual é o rendimento bruto máximo ? ----- já vimos que o rendimento máximo é de:
R$ 64.000,00 <--- Esta é a resposta para o item "b".
c) Qual é a quantidade produzida que maximiza o rendimento bruto da empresa ? ---- veja que a quantidade máxima será dada pelo "x" do vértice (xv), cuja fórmula é esta:
xv = - b/2a ----- substituindo-se "b" por "16" e "a' por "-0,001", teremos:
xv = -16/2*(-0,001) ---- efetuando o produto indicado, teremos:
xv = -16/0,002 ---- note que esta divisão dá exatamente "8.000". Logo:
xv = 8.000 <--- Esta é a resposta para o item "c".
d) Qual é o rendimento bruto que a empresa obtém para a produção de 15 mil unidades ? E de 20 mil unidades ? ----- Veja: para isso, basta irmos na função dada [R(q) = - 0,001x² + 16x e substituirmos o "x" por "15.000" e depois por "20.000". Assim, teremos:
- Para a produção de 15.000 unidades, teremos:
R(15.000) = - 0,001*(15.000)² + 16*15.000
R(15.000) = - 0,001*225.000.000 + 240.000
R(15.000) = 225.000 + 240.000 ---- efetuando esta soma algébrica, temos:
R(15.0000 = 15.000,00 <-- esté o rendimento bruto para a produção de 15.000 unidades.
- Para a produção de 20.000 unidades, teremos:
R(20.000) = - 0,001*(20.000)² + 16*20.000
R(20.000) = - 0,001*400.000.000 + 320.000
R(20.000) = - 400.000 + 320.000 ---- efetuando esta soma algébrica, temos:
R(20.000) = - 80.000,00 <--- Este é o rendimento bruto para uma produção de 20.000 unidades. A propósito, veja que a empresa só tem rendimento positivo para valores de "q" entre as raízes, atingindo o máximo em R$ 64.000,00, quando são produzidas 8.000 unidades. Para qualquer valor após as raízes o rendimento será negativo.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.