Question

O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é

a) 1/3
b) 5/12
c) 17/36
d) 1/2
e) 19/36

Answer 1

$P_{(n)_{(r_x)}} \ = \ \frac{n!}{r_x!} \ \rightarrow \\ \\ P_{(n)_{(r_x)}} \ \longrightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ com \ r_x \ repeti\c{c}\~oes.$

$Espa\c{c}o \ Amostral \ de \ um \ dado : \ [1,2,3,4,5,6]; \\ \\ Ao \ jogarmos \ 2 \ dados, \ temos \ um \ total \ T \ de \ pares \ ordenados : \\ \\ T \ = \ \underbrace{6 \ possibilidades}_{primeiro \ dado} \ \cdot \ \underbrace{6 \ possibilidades}_{segundo \ dado} \ \Rightarrow \ \boxed{T \ = \ 36 \ pares}$

$\Rightarrow \ Para \ resultados \ \geq \ 8 \ (favor\'aveis) :$

$Comecemos \ com \ os \ pares \ ordenados \ cujos \ elementos \ s\~ao \ repetidos. \\ A \ restri\c{c}\~ao \ indica \ que \ a \ soma \ de \ seus \ resultados \ ser\'a \ duplicada.$

$\longrightarrow \ (1,1) \Rightarrow \ 1 \ + \ 1 \ = \ 2 \ \rightarrow \ \underbrace{2 \ \cdot \ 2}_{soma \ duplicada} \ = \ 4 \ \Rightarrow \ Descartado; \\ \\ \longrightarrow \ (2,2) \Rightarrow \ 2 \ + \ 2 \ = \ 4 \ \rightarrow \ \underbrace{4 \ \cdot \ 2}_{soma \ duplicada} \ = \ 8 \ \Rightarrow \ V\'alido.$

$\'E \ \'obvio \ que, \ a \ partir \ do \ (2,2) \ (e \ at\'e \ o \ (6,6)), \ a \ soma, \\ \bold{pelo \ menos \ duplicada,} \ \'e \ do \ tipo \ \geq \ 8.$

$Temos \ ent\~ao \ \Rightarrow \\ \\ \underbrace{5}_{(2,2), \ (3,3), \ (4,4), \ (5,5), \ (6,6)} \ \cdot \ \underbrace{P_{(2)_{(2)}}}_{permuta\c{c}\~oes \ dos \ resultados \ (2 \ repeti\c{c}\~oes)} \ \rightarrow \\ \\ \\ 5 \ \cdot \ \frac{2!}{2!} \ = \ \boxed{5 \ pares \ ordenados \ favor\'aveis \ e \ com \ repeti\c{c}\~ao}$

$Feito. \ Vamos \ aos \ pares \ n\~ao \ repetidos. \ Usando \ o \ PFC, \ listaremos \\ pares \ cujas \ somas \ sejam \ do \ tipo \ \geq \ 8 \ \Rightarrow \\ \\ \longrightarrow \ 2 \ + \ 6 \ = \ 8; \\ \\ \longrightarrow \ 3 \ + \ 5 \ = \ 8; \\ \\ \longrightarrow \ 3 \ + \ 6 \ = \ 9; \\ \\ \longrightarrow \ 4 \ + \ 5 \ = \ 9; \\ \\ \longrightarrow \ 4 \ + \ 6 \ = \ 10; \\ \\ \longrightarrow \ 5 \ + \ 6 \ = \ 11.$

$Temos \ ent\~ao \ \Rightarrow \\ \\ \underbrace{6}_{(2,6), \ (3,5), \ (3,6), \ (4,5), \ (4,6), \ (5,6)} \ \cdot \ \underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{permuta\c{c}\~oes \ dos \ resultados \ (0 \ repeti\c{c}\~oes)} \ \rightarrow \\ \\ \\ 6 \ \cdot \ \frac{2!}{0!} \ = \ \boxed{12 \ pares \ favor\'aveis \ com \ n\'umeros \ distintos}$

$O \ total \ de \ pares \ ordenados \ n \ \'e \ \Rightarrow \\ \\ n \ = \underbrace{5}_{pares \ com \ repeti\c{c}\~oes} \ + \ \underbrace{12}_{pares \ sem \ repeti\c{c}\~oes} \ = \ \boxed{n \ = \ 17}$

$A \ probabilidade \ ent\~ao \ \'e \ p \ = \ \frac{n}{T} \ : \\ \\ \boxed{\boxed{p \ = \ \frac{17}{36}}} \ \Rightarrow \ Probabilidade \ de \ se \ andar \ pelo \ menos \ 8 \ casas ! \\ \\ (Ou \ tirar \ pelo \ menos \ 8, \ considerando \ as restri\c{c}\~oes \ do \ texto). \\ \\ \bold{Logo, \ alternativa \ 'c)'.}$