Question

Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois mem bros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro.

a) Quantas unidades da Federação tem cada região?
b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos.
c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que P < 1/50.

Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil – 1988, cada unidade da Federação é representada por três senadores.

Answer 1

a) As regiões federativas estão assim organizadas:
A Região Norte contém 7 unidades (PA, AM, AC, RO, TO, AP e RR).
A Região Nordeste é formada por 9 unidades (MA, PI, CE, RN, PB, PE, AL, SE e BA).
A Região Centro-Oeste é composta por 4 unidades (MT, MS, GO e DF).
A Região Sudeste é formada por 4 unidades (MG, ES, RJ e SP).
Por fim, a Região Sul é composta por 3 unidades (PR, SC e RS).

Dentre estas regiões, a Sudeste e Nordeste são as que detém maior população.


b) Há $C_{4;2}$ maneiras de escolher duas unidades federativas da Região Sudeste e $C_{9;2}$ maneiras de se escolher duas unidades federativas da Região Nordeste.

Para as outras regiões, encontramos: para a Região Norte temos $C_{7;1}$ formas de escolher uma unidade federativa; $C_{4;1}$ formas de eleger uma unidade na Região Centro-Oeste e temos $C_{3;1}$ maneiras de eleger uma unidade da Região Sul.

Já que há 3 representantes no Senado para cada unidade federativa, o número N de comissões possíveis, satisfazendo as condições é:
N = $C_{4;2}$ . $C_{9;2}$ . $C_{7;1}$ . $C_{4;1}$ . $C_{3;1}$ . $3^{7 }$⇒

⇔ N =  $\frac{4.3}2.1y} . \frac{9.8}{2.1} . 7 . 4 . 3 . 3^{7}$⇔

⇔ N = 2 . 3 . 3² . 2² . 7 . 2² . 3 . 3⁷ ⇔

⇔ N =2⁵ . 3¹¹ . 7¹ 


c) Com 27 unidades federativas, a República Federativa do Brasil é representada por 81 senadores. Há, pois
$C_{81;7} = \frac{81 . 80 . 79 . 78 . 77 . 76 . 75}{7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1} =$ 

= 3⁴ . 2² . 79 . 13 . 11 . 19 . 2 . 5² = (2³ . 3⁴ . 5² . 11 . 13 . 19 . 79) possíveis comissões.

A probabilidade de elegermos uma comissão, por acaso, e ela satisfazer as condições do enunciado do exercício é:
P = $\frac{N}{C81;7}$ = $\frac{2^5 . 3^11 . 7}{2^3 . 3^4 . 5^2 . 11 . 13 . 19 . 79} =$
$\frac{2^2 . 3^7 . 7}{5^2 . 11 . 13 . 19 . 79} \ \textless$
$\frac{2^2 . 3^7}{5.11.13.19} . \frac{1}{5} . \frac{7}{70}$ < 
< 1 . $\frac{1}{5} . \frac{1}{10} = \frac{1}{50}$
porque $\frac{2^2 . 3^7}{5.11.13.19} = <strong>\frac{8748}{13585}$ < 1