Question

O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$9, em média 300 pessoas assistem aos concertos e que para cada redução de R$1 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores.
Pedem-se
a) Expresse a receita dos concertos em função do preço do ingresso.
b) Determine o preço do ingresso para que a receita seja máxima. Qual a receita máxima?

Answer 1

Resposta:

$a) R(x)=-100x^2+600x+2700\\b) x=6$

Explicação passo-a-passo:

Opa, tudo bom? Vou tentar explicar aqui espero que consiga expressar o raciocínio corretamente!

A receita de qualquer negócio que analisamos se dá pelo produto entre a quantidade de produtos vendida e o preço, certo? Caso eu venda 10 pastéis a 2 reais tenho uma receita de 20 reais.

No caso dessa questão meu produto é o número de pessoas, pois cada pessoa corresponde a um ingresso, então para início temos que a receita pode ser dada por:

$R=9.300$

Pois para o ingresso a R$9 temos 300 espectadores, porém a questão nos fala que para cada redução de R$1 no ingresso temos 100 pessoas a mais, então vamos colocar esses temos agora como uma variável x:

$R(x)=(9-x).(300+100x)$

Pois para cada x que diminuo no ingresso eu tenho 100x pessoas a mais na plateia. Dado isso para responder a letra a basta resolver o produto acima:

$R(x)=9.300+9.100x-300x-100x^2\\R(x)=2700+900x-300x-100x^2\\R(x)=-100x^2+600x+2700$

Para determinar o preço do ingresso que deve ser reduzido para que a receita seja máxima precisamos encontrar o valor  do x do vértice que tem como fórmula:

$x=\frac{-b}{2a}$

Logo:

$x=\frac{-600}{2.-100} \\x=\frac{-600}{-200} \\x=3$

Dessa forma devemos reduzir R$3 do valor inicial do ingresso, tendo como resposta R$6