Question

O coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6 é: PS: preciso do calculo

Answer 1

Olá.

Temos a expressão: (x + 2)⁶

 

Para resolver a expressão, usarei uma propriedade de produtos notáveis e uma de potência: “cubo da soma de dois termos” e “produto de potências de mesma base”, que apresento abaixo.

 

Produto notável:

$\mathsf{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$

 

Potência:

$\mathsf{(x+y)^{rs}=(x+y)^r\cdot(x+y)^s}$

 

Serão divididos os expoentes para que sejam aplicados os produtos notáveis. Tendo feito isso, basta aplicar a distributiva entre os termos gerados. Como o produto notável será aplicado no mesmo binômio (x + 6), podemos calcular apenas uma vez e copiar do outros lado.

 

Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{(x+2)^6=}\\\\\mathsf{(x+2)^3\cdot(x+2)^3=}\\\\\mathsf{(x^3+3\cdot x^2\cdot2+3\cdot x\cdot2^2+2^3)\cdot(x+2)^3=}\\\\\mathsf{(x^3+6x^2+3\cdot x\cdot4+8)\cdot(x+2)^3=}\\\\\mathsf{(x^3+6x^2+12x+8)\cdot(x+2)^3=}\\\\\mathsf{(x^3+6x^2+12x+8)\cdot(x^3+6x^2+12x+8)}$

 

Nesse momento os cálculos ficarão muito extensos, logo, irei dividir em duas linhas no LaTeX.

 

$\mathsf{(x^6+6x^5+12x^4+8x^3)+(6x^5+36x^4+72x^3+48x^2)}\\\\\mathsf{+(12x^4+72x^3+144x^2+96x)+(8x^3+48x^2+96x+64)}$

 

Como queremos apenas o coeficiente de x⁴, irei separar e calcular apenas os que tem x⁴.

 

$\mathsf{12x^4+36x^4+12x^4=}\\\\\mathsf{48x^4+12x^4=}\\\\\boxed{\mathsf{60x^4}}$

 

O coeficiente será 60.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$

Answer 2

Resposta:

Você pode usar a fórmula:Cr,p=r!/p!(r-p)

Explicação passo-a-passo:

C 6,n.x^6-n.2^n

resolvendo isso:

x^4=x^6-n

4=6-n

n = 6-4=2 voltando, fica:

C 6,2.x^6-2.2^2= fatora C6,2=15

15.x^4.4= 60x^4