Question

O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia. Considere a transformação abaixo: T(x,y)=(x+3y,4x+2y) Quais os autovalores e autovetores relacionados a essa transformação? Alternativas Alternativa 1: Autovalores = -2 e 5; Autovetores = (1,-1) e (1,4/3) Alternativa 2: Autovalores = -2 e 5; Autovetores = (1,-1) e (1,3) Alternativa 3: Autovalores = 2 e 5; Autovetores = (1,-1) e (1,4/3) Alternativa 4: Autovalores = 2 e -5; Autovetores = (1,-1) e (1,4/3) Alternativa 5: Autovalores = -2 e 5; Autovetores = (1,-1) e (1,1)

Answer 1

Resposta:

-2 e 5

sistema linear (A-Lambida imagem) V=0

-1,1 e 1, 4/3

Explicação:

complicado colocar a resolução aqui no passo a passo segue tópicos principais do   sistema linear.

3x+3y=0

4x+4y=0

-1 e 1;

-4x+3y=0

4x-3y=0

1 e 4/3

Answer 2

Os autovalores da transformação lineal são -2 e 5, enquanto os respectivos autovetores associados são (1,1) e $(1,-\frac{3}{4})$.

Como se achar os autovalores da transformação lineal?

Para obter os autovalores da transformação linear, deve-se obter uma forma matricial dessa transformação, obtendo-se no processo a matriz associada dessa transformação:

$T(x,y)=(x+3y,4x+2y)\\\\\left[\begin{array}{cc}x&y\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1&4\\3&2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}x+3y&4x+2y\end{array}\right]$

Os autovalores da transformação linear são as soluções do sistema de equações lineares homogêneo a seguir:

$det(A-\lambda.I)=0$

Em que A é a matriz associada e I é a matriz identidade, desenvolvendo esse determinante temos:

$det(\left[\begin{array}{cc}1&4\\3&2\end{array}\right] -\lambda\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right])=0\\\\det\left[\begin{array}{cc}1-\lambda&4\\3&2-\lambda\end{array}\right]=0\\\\(1-\lambda)(2-\lambda)-3.4=0\\\\2-\lambda-2\lambda+\lambda^2-12=0\\\\\lambda^2-3\lambda-10=0$

Para calcular os autovalores resolvemos a equação quadrática:

$\lambda=\frac{3\ñ\sqrt{(-3)^2-4.1.(-10)}}{2.1}=\frac{3\ñ\sqrt{9-40}}{2}=\frac{3\ñ7}{2}\\\\\lambda=5\\\\\lambda=-2$

Como se achar os autovetores da transformação lineal?

Com os autovalores, devemos resolver o sistema de equações a seguir com cada um deles para achar os dois autovetores.

$(A-\lambda.I).v=0$

Com o primeiro autovalor, $\lambda=5$ temos:

$(\left[\begin{array}{cc}1&4\\3&2\end{array}\right] -5\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] =0\\\\\left[\begin{array}{cc}1-5&4\\3&2-5\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] =0\\\\\left[\begin{array}{cc}-4&4\\3&-3\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] =0\\\\-4x+4y=0\\3x-3y=0$

Além da solução trivial, esse sistema terá solução sempre que seja x=y, ou seja, as soluções são todos os vetores com a forma (x,x)=x(1,1). Então, o autovetor associado é (1,1).

Agora, com o outro autovalor temos:

$(\left[\begin{array}{cc}1&4\\3&2\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] =0\\\\\left[\begin{array}{cc}1+2&4\\3&2+2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] =0\\\\\left[\begin{array}{cc}3&4\\3&4\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] =0\\\\3x+4y=0\\3x+4y=0$

As soluções desse sistema serão todas aquelas em que $y=-\frac{3}{4}x$, ou seja, todos os vetores da forma $(x,-\frac{3}{4}x)$. Então, o autovetor associado é $(1,-\frac{3}{4})$.

Saiba mais sobre os autovalores e autovetores em https://brainly.com.br/tarefa/4196598

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