Question

Números reais n-6,n-4,2n-11 são os três primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica crescente

Answer 1

Há uma progressão geométrica (PG) crescente tal que:

$\left\{a_1,a_2,a_3,\dots\right\}=\left\{n-6,n-4,2n-11,\dots\right\}$

O termo geral de uma PG é:

$\boxed{a_n=a_kq^{n-k}}$

Dessa forma, teremos que:

$a_2=a_1q\ \to\ q=\dfrac{a_2}{a_1}\ \to\ q=\dfrac{n-4}{n-6}$

Além disso:

$a_3=a_2q\ \to\ q=\dfrac{a_3}{a_2}\ \to\ q=\dfrac{2n-11}{n-4}$

Podemos igualar as duas expressões:

$q=q\ \to\ \dfrac{n-4}{n-6}=\dfrac{2n-11}{n-4}\ \to\ (n-4)^2=(2n-11)(n-6)\ \to$

$n^2-8n+16=2n^2-23n+66\ \to\ 0=n^2-15n+50$

Obtemos uma equação quadrática, e podemos resolvê-la através da fórmula quadrática:

$\boxed{n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\ \to\ n=\dfrac{-(-15)\pm\sqrt{(-15)^2-4(1)(50)}}{2(1)}\ \to$

$n=\dfrac{15\pm\sqrt{25}}{2}\ \to\ n=\dfrac{15\pm5}{2}\ \to\ \boxed{n=5}\ \text{ou}\ \boxed{n=10}$

Se $n=5$:

$q=\dfrac{5-4}{5-6}\ \to\ \boxed{q=-1}\ \to\ \text{PG oscilante.}$

Se $n=10$:

$q=\dfrac{10-4}{10-6}\ \to\ \boxed{q=\dfrac{3}{2}}\ \to\ \text{PG crescente.}$

Visto que a progressão geométrica que buscamos é crescente, conclui-se que $n=10$ e $q=3/2$.

$\boxed{\left\{a_1,a_2,a_3,\dots\right\}=\left\{4,6,9,\dots\right\}}$