Question

Numa PA, a
2
+ a
6
= -6 e a
5
+ a
8
= 9. Calcule a
1
e r.

Answer 1

$a_2 + a_6 = -6$

$a_5 + a_8 = 9$

Termo geral da progressão aritmética:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Onde:

$a_n$ é o termo n da progressão;

$a_1$ é o primeiro terma da progressão;

$n$ é o número do termo e;

$r$ é a razão da progressão.

Assim sendo, podemos reescrever todos os termos em função do primeiro e da razão:

$a_2 = a_1 + r$

$a_5 = a_1 + 4 \cdot r$

$a_6 = a_1 + 5 \cdot r$

$a_8 = a_1 + 7 \cdot r$

Ou seja:

$a_1 + r + a_1 + 5 \cdot r = -6$

$2 \cdot a_1 + 6 \cdot r = -6$

$2 \cdot (a_1 + 3 \cdot r) = -6$

$a_1 + 3\cdot r = -\dfrac{6}{2}$

$a_1 + 3 \cdor r = -3$

$a_1 = -3 - 3 \cdot r$

E:

$a_1 + 4 \cdot r + a_1 + 7 \cdot r = 9$

$2 \cdot a_1 + 11 \cdot r = 9$

Substituindo $a_1$ em função da razão:

$2 \cdot (-3) \cdot (1 + r) + 11 \cdot r = 9$

$-6 - 6 \cdot r + 11 \cdot r = 9$

$5 \cdot r = 15$

$r = \dfrac{15}{5}$

$\boxed{r = 3}$

Com isso, podemos encontrar $a_1$:

$a_1 = -3 - 3 \cdot r$

$a_1 = -3 -3 \cdot 3$

$a_1 = -3 - 9$

$\boxed{a_1 = - 12}$

Logo, podemos escrever a progressão da seguinte maneira:

$a_n = -12 + (n - 1) \cdot 3$