Question

numa p.a crescente,a soma dos trés primeiros termos é 6 e o produto e -42 . qual o a16?​

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Para representar uma PA de três termos, podemos usar os termos genéricos que são (x - r, x, x + r).

Vamos colocá-los em uma PA:

$\boxed{PA \: (x -r, \: x \: ,x + r)}$

A questão nos informa que esses três termos somados resultam em 6 e multiplicados resultam em -42, então vamos somar e multiplicar esses termos genéricos e igualar aos valores de seus resultados:

$i)soma: \\ x - r \: + x + x + r = 6 \\ x + x + x - r + r = 6 \\ 3x = 6 \\ x = \dfrac{6}{3} \\ \boxed{ x = 2} \\ \\ ii)produto: \\ \\ (x - r).(x + r).x = - 42 \\ (x.x + x.r - x.r - r.r).x = - 42 \\( x {}^{2} - r{}^{2}).x = - 42 \\ x {}^{3} - xr {}^{2} = - 42 \\ \boxed{x = 2} \\ (2) {}^{3} - 2.r {}^{2} = - 42 \\ 8 - 2r {}^{2} = - 42 \\ - 2r {}^{2} = - 42 - 8 \\ - 2r {}^{2} = - 50 \\ r {}^{2} = \dfrac{ - 50}{ - 2} \\ r {}^{2} = 25 \\ r = \sqrt{25} \\ \boxed{r = \pm5}$

Descobrimos que a razão dessa PA é ± 5, mas a questão nos disse que é uma PA crescente, ou seja, razão > 0, então vamos adotar a razão como "5".

Substituindo os valores obtidos nos termos genéricos:

$(x - r, \: x \: ,x + r) \\ (2 - 5, \: 2 \: ,2 + 5) \\ \boxed{\boxed{PA( - 3,2,7)}}$

Sabendo que essa é a nossa PA, vamos descobrir a razão e consequentemente o que a questão pede que é o décimo sexto termo (a16).

I) razão:

A razão de uma PA pode ser calculada através da diferença de um termo qualquer pelo seu antecessor imediato. No nosso caso o termo qualquer será a2 e o termo antecessor é a1.

$r = a2 - a1 \\ r = 2 - ( - 3) \\ r = 2 + 3 \\ \boxed{\boxed{r = 5}}$

Agora sim vamos calcular o (a16).

II) Substituição no termo geral:

$\boxed{an = a1 + (n - 1).r} \\ a16= - 3 + (16 - 1).5 \\ a16 = - 3 + (15).5 \\ a16 = - 3 + 75 \\ \huge \boxed{ \boxed{ a16 = 72}}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️