Question

Numa assembleia estão presentes 5 mulheres e "n" homens.
Utilizando essas pessoas, o total de comissões com cinco
membros que podem ser formadas com exatamente 3 mulheres
é igual a 450. Considerando novamente essas pessoas da
assembleia, se X é o total de comissões de cinco membros
contendo 4 mulheres e 1 homem, então:

A) X=42
B) X=50
C) X=58
D) X=60
E) X=86

Answer 1

→ Num primeiro momento , as comissões de cinco membros são formadas por 3 mulheres e 2 homens. Nessa comissões teremos 5 mulheres que podem ser escolhidas e '' n '' homens , logo :

$T = \binom{5}{3}.\binom{n}{2}$

→ Optei por escrever na forma binomial as combinações :

$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!.(n-p)!}$

→ Onde T é o total de comissões formadas :

$450 = \binom{5}{3} . \binom{n}{2}$
$450 = \frac{5!}{3!.(5-3)!} . \frac{n!}{2!.(n-2)!}$
$450 = \frac{5.4.3!}{3!.2} . \frac{n.(n-1).(n-2)}{2.(n-2)!}$
$450 = \frac{5.4}{2} . \frac{n.(n-1)}{2}$
$90 = n^2-n$
$n^2 - n - 90 = 0$

$\Delta = b^2 - 4.a.c$
$\Delta = (-1)^2 - 4.(1).(-90)$
$\Delta = 361$

$n = \frac{-b^+_- \sqrt{\Delta} }{2a}$
$n = \frac{-(-1)^+_- \sqrt{361} }{2.(1)}$
$n = \frac{1^+_-19}{2}$

$n' = 10$
$n'' = - 9$

→ Como '' n '' representa um número de pessoas então o resultando negativo ( n'' ) não convém , logo n' = n .

→ Sendo X o número de comissões de cinco pessoas que podemos formar com 4 mulheres e 1 homem :

$X = \binom{5}{4} . \binom{10}{1}$
$X = \frac{5!}{4!.(5-4)!} . \frac{10!}{1!.(10-1)!}$
$X = \frac{5.4!}{4!.1!} . \frac{10.9!}{1!.9!}$
$X = 5.10$
$X = 50$

→ A alternativa correta então é a letra b) na qual X = 50 possibilidades.