Question

Num vôo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$200,00 por pessoa quando todos os lugares são ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao preço de cada passagem será acrescida a importância de R$4,00 por cada lugar não ocupado ( por exemplo, se existirem 10 lugares não ocupados o preço de cada passagem será R$240,00). Quantos devem ser os lugares não ocupados para que a companhia obtenha o faturamento máximo?

Answer 1

Para calcular a Receita, multiplicamos a quantidade de pessoas pela valor que cada uma pagará.
$R=100 \times 200\\\\ R=R\ \ 20.000,00$

Para cada pessoa a menos (x), será cobrado R$ 4,00 a mais por passagem (4x).
Agora adicionamos essas variáveis na função receita:

$R=(100-x) \times (200+4x)$

Encontrando a função receita:

$R=(100-x)(200+4x)\\\\ R=20.000+400x-200x-4x^2\\\\ \boxed{R=-4x^2+200x+20.000}$

Agora aplicamos a função maximização:

$X_v=\dfrac{-b}{2a}\\\\ X_v=\dfrac{-200}{2\times4}\\\\ X_v=\dfrac{-200}{2\times(-4)}\\\\ X_v=\dfrac{-200}{-8}\\\\ \boxed{X_v=25}\\\\\\ Subtraindo\ da\ capacidade\ m\'axima:\\\\ x_{max} = 100-25\\\\ \boxed{x_{max} = 75\ pessoas}$


Podemos tirar a prova real, conferindo os resultados para 74, 75 e 76 pessoas.
Para 74 pessoas:
$R=(100-26)(200+4(26))=74\times(200+104)=74\times304=22.496$

Para 75 pessoas:
$R=(100-25)(200+4(25))=75\times(200+100)=75\times300=22.500$

Para 76 pessoas:
$R=(100-24)(200+4(24))=76\times(200+96)=76\times296=22.496$

Espero ter ajudado.
Bons estudos!