Question

Num triângulo ABC equilátero de lado 12 cm, construa as bissetrizes dos três vértices, determinando o valor de cada ângulo gerado por elas, e, sabendo que os pontos de encontro das bissetrizes com os lados opostos aos vértices A, B e C são R, M e N, calcule o comprimento dos segmentos AR, BM e CN. Me ajudem por favor.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cláudio, que pelo fato de o triângulo ser equilátero, então a resolução se torna bem simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se o triângulo é equilátero de lado 12 cm, então cada lado desse triângulo terá 12 cm, pois o triângulo equilátero tem todos os seus três lados iguais.

ii) Considerando isso, então cada ângulo de um triângulo equilátero terá 60º, pois se são três lados iguais, então também serão três ângulos iguais. E, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, então, teremos que: 3*60º = 180º.

iii) Dessa forma, ao traçar a bissetriz do vértice A (que tem 60º), então a bissetriz vai dividir ao meio esse ângulo em dois ângulos de 30º. E, ao encontrar o lado oposto no ponto R, ela formará dois triângulos retângulos com a base BC (lembre-se que, num triângulo equilátero, a bissetriz se confunde com a altura).
A mesma coisa você dirá em relação à bissetriz que sai do vértice B e vai até o ponto M, na base AC; e o mesmo em relação à bissetriz que parte do  vértice C e vai até o ponto N, na base AB.

iv) Finalmente, vamos às medidas dos segmentos AR, BM e CN.
Como a bissetriz de um triângulo equilátero se confunde com a altura (como já informamos antes), então cada uma das bissetrizes, ao ser traçada de cada vértice, dividirá o lado oposto em dois segmentos iguais (6 cm cada um, pois o lado inteiro mede 12 cm) formando dois triângulos retângulos, cuja hipotenusa será um dos lados (12 cm) e cujos catetos serão um dos segmentos iguais (6 cm) e a própria bissetriz, que são os segmentos AR, BM e CN.
Assim, basta calcular a medida de uma das bissetrizes, pois as outras serão iguais, por tratar-se de um triângulo equilátero.l
Então vamos calcular a bissetriz AR. Assim, aplicando Pitágoras, teremos;

12² = (AR)² + 6²
144 = (AR)² + 36 ---- passando "36" para o 1º membro, teremos;
144 - 36 = (AR)²
108 = (AR)² ---- vamos apenas inverter, ficando:
(AR)² = 108
AR = ± √(108) ----- note que 108 = 2².3³ = 2².3².3¹ = 2².3².3 . Logo:
AR = ± √(2².3².3) ---- como o "2" e o "3" estão elevado ao quadrado, então eles saem de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos :

AR = ± 2.3√(3)
AR = ± 6√(3) ---- tomando-se apenas a raiz positiva (pois a medida da bissetriz não é negativa), teremos;

AR = 6√(3) cm <---- Esta é a medida da bissetriz AR.

v) Como o triângulo é equilátero, então todas as bissetrizes serão iguais. Assim, deveremos ter que:

AR = BM = CN = 6√(3) cm <--- Esta é a resposta quanto à medida das bissetrizes.

E quanto aos ângulos formados, temos que cada uma delas divide o ângulo do qual ela partiu em dois ângulos de 30º e, no lado oposto, cada uma delas, ao dividir o respectivo lado oposto em dois segmentos iguais, formará dois ângulos de 90º.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.