Question

Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se
construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante. Para que valores de x e de
y a área ocupada pela casa será máxima?

Answer 1

Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-seconstruir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante. Para que valores de x e de
y a área ocupada pela casa será máxima?


uma PARTE ( deviar)
devivar uma EQUAÇÃO

30x - x²   (derivar)  (fica)
30 - 2x    (devirou)

Answer 2

A área ocupada pela casa será máxima quando x = 15 e y = 10.

Considere a figura abaixo.

Observe que os triângulos ABC e CED são semelhantes.

Além disso, temos que BE = y e EC = 20 - y.

Dito isso, temos que:

30/20 = x/(20 - y)

30(20 - y) = 20x

600 - 30y = 20x

30y = 600 - 20x

y = 20 - 2x/3.

É importante lembrarmos que a área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões.

Sendo assim, a área da casa é igual a:

S = x.y

S = x.(20 - 2x/3)

S = 20x - 2x²/3.

Temos aqui uma função do segundo grau. Note que a parábola possui concavidade para baixo, pois -2/3 < 0.

Para sabermos os valores de x e y que tornam a área máxima, precisamos calcular a coordenada x do vértice da parábola.

As coordenadas do vértice são definidas por:

• xv = -b/2a
• yv = -Δ/4a.

Sendo a = -2/3, b = 20 e c = 0, temos que:

xv = -20/2.(-2/3)

xv = 20.3/4

xv = 15.

Logo, podemos afirmar que o valor de y é:

y = 20 - 2.15/3

y = 20 - 10

y = 10.

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