Question

Num lote de 10 peças idênticas, 4 têm algum defeito. Escolhendo-se três dessas peças ao acaso, qual a probabilidade de todas serem defeituosas?

Answer 1

O total de formas distintas que temos para escolher $3$ peças quaisquer entre as $10$ do lote é o total de combinações simples que se pode fazer desses $10$ elementos, tomando $3$ a $3$, isto é

$C_{10,3}=\frac{10!}{3!\cdot\left(10-3 \right )!}\\ \\ =\frac{10!}{3! \cdot 7!}\\ \\ =\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot 7!}\\ \\ =\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}\;\; \text{\;\;(i)}$

(quantidade de formas diferentes de se escolher 3 peças entre 10 possíveis)


Agora, considerando apenas as peças defeituosas do lote, o total de formas distintas de escolher $3$ peças entre as $4$ defeituosas é dado por

$C_{4,3}=\frac{4!}{3!\cdot\left(4-3\right)!}\\ \\ =\frac{4!}{3!\cdot 1!}\\ \\ = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!}\\ \\ =4\;\; \text{\;\;(ii)}$

(quantidade de formas diferentes de se escolher 3 peças entre 4 defeituosas)


Logo, a probabilidade de em $3$ escolhas, todas serem defeituosas é

$\text{p}=\frac{C_{4,3}}{C_{10,3}}\\ \\ =\frac{4}{\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}}\\ \\ =4 \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{10 \cdot 9 \cdot 8}\\ \\ =\frac{24}{720}\\ \\ =\boxed{\frac{1}{30} \approx 3,3\%}$

Answer 2

Ao escolher a 1ª peca a probabilidade dela ser defeituosa é 4 em 10;

ao escolher a 2ª peca a probabilidade é 3 em 9,

ao escolher a 3ª peca a probabilidade é de 2 em 8.

4/10 x 3/9 x 2/8 = 24/ 720

24/720 = 1/30

 A probabilidade de todas serem defeituosas é 1 em 30.