Question

Num espaço euclidiano V, dois elementos x e y dizem-se ortogonais se o correspondente produto interno for zero. Um subconjunto S de V diz-se um subconjunto ortogonal de (x,y) = 0 para cada par de elementos distintos x e y de S. Um conjunto ortonormal diz-se ortonormal se cada um dos seus elementos tem norma 1. O elemento neutro é ortogonal a todo o elemento de V e é o único elemento ortogonal a si próprio. Além disso, num espaço euclidiano V, todo o conjunto ortogonal de elementos não nulos é independente. Em particular, num espaço euclidiano de dimensão finita, com dim V = n, todo conjunto ortogonal formado por n elementos não nulos define uma base de V.
A respeito das propriedades do produto interno e dos critérios de ortogonalidade, considere os seguintes polinômios:

u=2x+x2, v=x3 e w=4+x, no intervalo [-1,1]

Após realizar os produtos internos entre os polinômios, julgue as afirmações a seguir.

I. Os polinômios u e v não são ortogonais, pois u,v≠0.

II. Os polinômios u e w são ortogonais, pois u,w=0.

III. Os polinômios v e w são ortogonais, pois v,w=0.
É correto o que se afirma em
A
I, II e III.
B
I e III, apenas.
C
II e III, apenas.
D
II, apenas.
E
I, apenas.

Answer 1

Considerando os dados do enunciado e os conhecimentos referentes a produto interno polinomial, podemos afirmar que a alternativa correta é a letra E.

Sobre produto interno polinomial:

O produto interno pode ser definido de diferentes formas. Para os polinônios ele é definidio através de uma intergral da forma:

$\int\limits^a_b {f(x)}{g(x)} \, dx$

Para o intervalo [a,b] definido. Portanto, para resolver a questão, basta resolver a integral para os polinômios u, v e w. Logo,

• $\int\limits^1_{-1} {(2x+x^2)(x^3)} \,dx$

Neste caso, isso será a integral de uma função par num intervalo simétrico. Integrais desse tipo são sempre diferentes de zero, portanto não são ortogonais.

• $\int\limits^1_{-1} {(2x+x^2)(4+x)} \,dx$

Novamente, temos uma integral de função par num intervalo simétrico, logo não são ortogonais.

• $\int\limits^1_{-1} {(x^3)(4+x)} \,dx$

Por fim, temos mais uma integral desse tipo, de forma que os polinômios v e w também não são ortogonais.

Dessa forma, a alternativa correta é a letra E.

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