Question

Nove operarios fazem metade de uma obra em 16 dias. Se despedirmos 3 operarios quanto tempo levava para a nova equipe fazer a outra metade?

Answer 1

$\bullet\;\;$ Passo 1: Identificar as grandezas envolvidas.

Para este problema, as grandezas envolvidas são:

$n=$ número de operários;

$t=$ tempo gasto para realizar a parte da obra (em dias);

$x=$ fração que determina a parte da obra realizada.


$\bullet\;\;$ Passo 2: Relacionar as grandezas entre si, duas a duas, para identificar se elas são direta ou inversamente proporcionais:


$\blacktriangleright$ Relacionando o número $n$ de operários e o tempo $t:$

Para realizar uma mesma quantidade de obra, se aumentarmos o número de operários, então o tempo para realizar a obra diminui.


Logo, $n$ e $t$ são grandezas inversamente proporcionais, isto é, o produto entre $n$ e $t$ é constante:

$n_{1}\cdot t_{1}=n_{2}\cdot t_{2}=\ldots=k_{1};\;\;\;(k_{1}\text{ \'{e} constante})\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\blacktriangleright$ Relacionando o número $n$ de operários e a fração $x$ da obra realizada:

Para um mesmo período de tempo de trabalho, se aumentarmos o número de operários, então a fração da obra realizada será maior (ou seja, maior parte da obra será realizada).


Logo, $n$ e $x$ são diretamente proporcionais, isto é, a razão entre $n$ e $x$ é constante:

$\dfrac{n_{1}}{x_{1}}=\dfrac{n_{2}}{x_{2}}=\ldots=k_{2};\;\;\;\;(k_{2}\text{ \'{e} uma constante})\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\blacktriangleright$ Relacionando o tempo $t$ e a fração $x$ da obra realizada:

Para uma quantidade fixa de operários, se aumentarmos o tempo $t$ de realização de obra, a fração $x$ da obra realizada também vai aumentar (isto é, maior parte da obra será concluída).


Logo, $t$ e $x$ são diretamente proporcionais, isto é, a razão entre $t$ e $x$ é constante:

$\dfrac{t_{1}}{x_{1}}=\dfrac{t_{2}}{x_{2}}=\ldots=k_{3};\;\;\;(k_{3}\text{ \'{e} constante})\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Passo 3: Combinar as relações $\mathbf{(i)},$ $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)}$ numa única relação que envolva as três grandezas:

$\left\{\begin{array}{cc} n\cdot t=k_{1}&\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ \dfrac{n}{x}=k_{2}&\;\;\;\mathbf{(ii)}\\ \\ \dfrac{t}{x}=k_{3}&\;\;\;\mathbf{(iii)} \end{array}\right.$


Analisando as três equações acima, vemos que uma relação de proporcionalidade viável é

$\dfrac{n\cdot t}{x}=K\;\;\;\;(K\text{ \'{e} a constante de proporcionalidade})$


Atenção: Esta é a regra de ouro para qualquer problema de proporção, envolvendo regra de três (simples ou composta). Note que na relação acima,

$\text{a)}\;\;$ as grandezas inversamente proporcionais se multiplicam entre si;

$\text{b)}\;\;$ as grandezas diretamente proporcionais se dividem entre si (estão em posições diferentes na fração).


$\bullet\;\;$ Passo 4: Montar a tabela com os valores dados:

Segue em anexo a tabela com os dados da questão.


$\bullet\;\;$ Passo 5: Utilizar a relação de proporcionalidade encontrada em cada linha da tabela:

$\dfrac{n_{1}\cdot t_{1}}{x_{1}}=\dfrac{n_{2}\cdot t_{2}}{x_{2}}$


Substituindo os valores de cada linha, temos

$\dfrac{9\cdot 16}{(\frac{1}{2})}=\dfrac{6\cdot T}{(\frac{1}{2})}\\ \\ \\ 9\cdot 16=6T\\ \\ 6T=144\\ \\ T=\dfrac{144}{6}\\ \\ T=24\text{ dias}.$


A nova equipe com $6$ operários levará $24$ dias para terminar a outra metade da obra.