Question

No triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto está no ponto B, temos que a medida dos segmentos AB = 6 cm e AC = 12 cm. Considerando que D e E são os pontos médios dos lados AC e DC, respectivamente e que o triângulo BDC é isósceles, calcule a área do triângulo BDE.

Answer 1

Resposta:

Ver abaixo

Explicação passo-a-passo:

Analisando o triângulo ABC, temos:

$(AC)^{2} =(AB)^{2} +(BC)^{2}$

$(12)^{2} =(6)^{2} +(BC)^{2}$

$(BC)^{2} =144-36$

$(BC)^{2} =108$

$(BC)=\sqrt{108}$

$(BC)=10,3923$

Vou calcular a área do triângulo ABC:

$S_{ABC} =\frac{B.H}{2}$

$S_{ABC} =\frac{6.10,3923}{2}$

$S_{ABC} =31,1769$

Seja o ângulo (BCD) = $\alpha$  e o ângulo (DBC) = $\beta$ ,então:

$cos\alpha =\frac{CA}{HI}$

$cos\alpha =\frac{10,3923}{12}$

$cos\alpha =0,866$

$\alpha =30$°

Se o enunciado informa que o triângulo BDC é isósceles, podemos afirmar que  $\alpha =\beta =30$°

Vou calcular a área do triângulo EBC:

$S_{EBC} =\frac{1}{2} .(BC).(CE).sen\alpha$

$S_{EBC} =\frac{1}{2} .(10,3923).(3).sen30$

$S_{EBC} =7,7942$

Vou calcular a área do triângulo ABD:

$S_{ABD} =\frac{1}{2} .(AB).(AD).sen\alpha$

$S_{ABD} =\frac{1}{2} .(6).(6).sen60$

$S_{ABD} =15,5885$

$S_{ABC} =S_{ABD} + S_{BDE} + S_{EBC}$

$31,1769 =7,7942 + S_{BDE} + 15,5885$

$S_{BDE} = 7,7942$