Question

No processo de preparação de uma mistura, foi necessário estudar o sistema linear: Nesse sistema, p, q e r representam as quantidades dos três elementos envolvidos na mistura. a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema. b) Resolva o sistema

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

Para alternativa a) e b) respectivamente, teremos: det = 0 ;  (a,1-a / 6 , 8 - 2a / 3)

Vamos aos dados/resoluções:  

{P + 2q + r = 3 ;  

2p + 3r = 8 ;  

p + 6q = 1; }

Rescrevendo ficará:  

{1p + 2q + 1r = 3

2p + 0q + 3r = 8  

1p + 6q + 0r = 1}

Para alternativa a) temos que as letras p ,q e r representam a quantidade ( coeficientes ) desse sistema. De modo que o termo '' p '' da primeira equação corresponde ao elemento a11 da matriz, o termo 3r seria o elemtno a23 e o termo 6q seria o elemento a32.

[1 2 1

2 0 3  

1 6 0]

É sabido que  o determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado pela Regra de Sarrus, logo  a Regra de Sarrus diz que para o cálculo do determinante ( det ) de uma matriz 3x3 devemos repetir os elementos da coluna 1 e 2 respectivamente depois da coluna 3 e então calcular os produto dos elementos de cada diagonal que está a direita da diagonal principal e subtrair do produto dos elementos de cada diagonal que está a direita da diagonal secundária, portanto:  

Det = {1 2 1 1 2  

      2 0 3 2 0  

      1 6 0 1 6}

Logo, det = 0.

Para alternativa b) temos que:  

{1p + 2q + 1r = 3  

2p + 0q + 3r = 8  

1p + 6q + 0r = 1}

Multiplicando a linha 1 desse sistema por -3, teremos:  

{-3p - 6q -3r = =9 ;  

2p + 0q + 3r = 8 ;

1p + 6q + 0r = 1 ;

Agora somando todas as equações:  

- 3p + 2p + 1p - 6q + 0q + 6q - 3r + 0r = -9 + 8 + 1

Então esse sistema é um Sistema Possível Indeterminado visto que ele pode ter várias soluções . De modo que as soluções desse sistema são  representaria uma solução genérica do sistema . Agora colocando as outras incógnitas em função de a:  

P + 6q + 0r = 1 ;  

a + 6q = 1 ;

6q = 1 - a  

q = 1 - 1 / 6 ;  

2p + 0q + 3r = 8 ;

2a + 3r = 8 ;  

3r = 8 - 2a ;  

r = 8 - 2a/3 ;

Finalizando então, as soluções do sistema são (a,1-a / 6 , 8 - 2a / 3) ; e quando det for diferente de 0, o sistema é um sistema possível e determinado (SPD), como o det = 0, então o sistema seria sistema impossível (SI) ou sistema possível e indeterminado (SPI).

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)