Question

Considere o número complexo a) Determine a parte real e a parte imaginária de z0. b) Determine a e b, de modo que z=1-i seja solução da equação z^2 +az+b =0.

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

A alternativa correta é a letra a) e b), respectivamente é: Parte Real = 518 / 13 / Parte imaginária = 289i / 13 ;   z² -2z + 2 = 0.

Vamos aos dados/resoluções:  

Se organizando a equação:  

Zo = 4i + 13 / 2 + 3i ;  

Zo = 4i . (2 + 39) + 13 / 2 + 3i ;  

Zo = 8i + 156i + 13 / 2 + 3i ;  

Zo = 164i + 13 / 2 + 3i ;  

Sabendo que um número complexo tem o seguinte formato:  

Z = a + bi ;  

a = parte real ;  

b = parte imaginária ;

Para letra a) Vamos efetuar agora a divisão de  para encontrar sua parte real e sua parte imaginária.

Para efetuar a divisão de um número completo precisamos antes multiplica-lo pelo conjugado do seu denominador.

Conjugado de um número complexo: Z = (a, -b) ;  

Z  a - bi ;  

Ou seja, basta trocar o sinal da parte imaginária.

Efetuando a divisão:  

Zo = 164i + 13 / 2 + 3i . 2 - 3i / 2 - 3i ;  

Zo = 328i = 492i² + 26 - 39i / 4 - 6i + 6i - 9i² ;  

Zo = 289i + 492 + 26 / 4 + 9 ;  

Zo= 518 + 289i / 13 ;  

Parte Real = 518 / 13 ;  

Parte imaginária = 289i / 13 ;  

Para alternativa b):  

Já que 1 - i é a solução da raiz, então substituindo na equação:  

Z² + az + b = 0 ;

(1 - i)² + a. (1 - i) + b = 0 ;

1 - 2i + i² + a - ai + b = 0 < i² = -1 ;  

i - 2i - i + a - ai + b = 0 ;  

-2i + a - ai + b = 0 ;  

a + b - 2i - ai = 0 ;  

A + b - (2 + a) i = 0 ;  

A parte real a + b tem que ser igual a 0 e a parte imaginária também, então temos:  

2 + a = 0 ;  

a = - 2  

B - 2 = 0 ;

b = 2 ;  

z² -2z + 2 = 0

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)