Question

No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a

a) 2 + 2√2
b) 3 + 2√2
c) 4 + 2√2
d) 5 + 2√2
e) 6 + 2√2

Answer 1

Esta é uma questão da Fuvest e o usuário que havia respondido respondeu de forma incompleta, além de que o mesmo não usa mais a plataforma.

Observe o anexo ⇒

Veja a reta $\mathsf{y \ = \ x}$ (em vermelho), que contém coeficiente angular $\mathsf{= \ 1}$ e, portanto, inclinação $\mathsf{= \ arctg(1) \ = \ \dfrac{\pi}{4} \ | \ 45^\circ}$ em relação ao eixo das abcissas.

Ainda temos a reta  $\mathsf{x \ = \ 0}$, que nada mais é do que o eixo ordenado, já que, para quaisquer valores ordenados, a abscissa continua sendo $\mathsf{0}$.

Aliás que $\mathsf{x \ = \ 0}$ e $\mathsf{y \ = \ 0}$ são as representações dos eixos cartesianos.

Como a circunferência tangencia essas duas retas positivamente ($\mathsf{a \ \ \textgreater \ \ 0}$), a posição dela é a do anexo, no primeiro quadrante.

A origem é, no caso, um ponto exterior de onde saem dois segmentos tangentes.

Sabendo que o coeficiente angular de $\mathsf{y \ = \ x}$ é de $\mathsf{\dfrac{\pi}{4}}$ e que os eixos cartesianos são perpendiculares, então o ângulo entre $\mathsf{y \ = \ x}$ e $\mathsf{x \ = \ 0}$ é $\mathsf{\dfrac{\pi}{4}}$ também.

Logo, o segmento entre o centro $\mathsf{P}$ e a origem $\mathsf{o}$ é a bissetriz do ângulo verde de $\mathsf{45^\circ}$. Cada ângulo metade mede $\mathsf{\dfrac{\pi}{8}}$.

Calculemos então a tangente de $\mathsf{\dfrac{\pi}{8}}$ pela tangente do arco duplo:

$\mathsf{tg(2\cdot x) \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ tg(x)}{1 \ - \ tg^2(x)}}$, com 
$\mathsf{x \ = \ \dfrac{\pi}{8} \ \rightarrow}$

$\mathsf{\overbrace{\mathsf{tg\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)}}^{1} \ = \ \dfrac{2 \ \cdot \ tg\bigg(\dfrac{\pi}{8}\bigg)}{1 \ - \ tg^2\bigg(\dfrac{\pi}{8}\bigg)} \ \rightarrow}$

$\mathsf{tg^2\bigg(\dfrac{\pi}{8}\bigg) \ + \ 2 \ \cdot \ tg\bigg(\dfrac{\pi}{8}\bigg) \ - \ 1 \ = \ 0}$

$\boxed{\mathsf{tg\bigg(\dfrac{\pi}{8}\bigg) \ = \ \sqrt{2} \ - \ 1}} \ \mathsf{\bigg(0 \ \ \textless \ \ \dfrac{\pi}{8} \ \ \textless \ \ \dfrac{\pi}{2}\bigg)}$

Em cada reta tangente, há um raio perpendicular... assim,  temos, nos triângulos retângulos formados:

$\mathsf{tg\bigg(\dfrac{\pi}{8}\bigg) \ = \ \dfrac{\overbrace{\mathsf{a}}^{abscissa \ de \ P}}{\underbrace{\mathsf{b}}_{ordenada \ de \ P}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\sqrt{2} \ - \ 1 \ = \ \dfrac{a}{\underbrace{\mathsf{a^2}}_{constituinte \ da \ par\'abola \ y \ = \ x^2}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\sqrt{2} \ - \ 1 \ = \ \dfrac{1}{a} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{a \ = \ \sqrt{2} \ + \ 1}}$

Como a ordenada de $\mathsf{P}$ está na parábola $\mathsf{y \ = \ x^2} \ \rightarrow$

$\mathsf{b \ = \ a^2 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{b \ = \ (\sqrt{2} \ + \ 1)^2 \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{b \ = \ 3 \ + \ 2 \ \cdot \ \sqrt{2}}}}$