Question

no plano cartesiano , os pontos A e B tem coordenadas dadas em função de um angulo a isto e A(-sen a ,cos a ) e B (cos a ,sen a ) Nessa condissao determine a distancia entre esses dois pontos

Answer 1

Primeiramente, lembre-se que a distância d entre dois pontos arbitrários $\mathsf{A\big(x_{a},y_{a}\big)}$ e $\mathsf{B\big(x_{b},y_{b}\big)}$ do plano é

$\mathsf{d=\sqrt{\big(x_b-x_a\big)^{\!2}+\big(y_b-y_a\big)^{\!2}}\ .}$

O exercício pede o valor da distância entre os dois seguintes pontos:

$\begin{cases}\mathsf{A\big(\!\!-sen\big(a\big),cos\big(a\big)\big)}\\\mathsf{e}\\ \mathsf{B\big(cos\big(a\big),sen\big(a\big)\big)}\end{cases}}$

Aplicando a fórmula descrita acima, temos que a distância d entre eles será:

$\mathsf{\qquad\quad\,d=\sqrt{\left[cos\big(a\big)-\big(\!\!-sen\big(a\big)\big)\right]^2+\left[sen\big(a\big)-cos\big(a\big)\right]^2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad d=\sqrt{\left[cos\big(a\big)+sen\big(a\big)\right]^2+\left[sen\big(a\big)-cos\big(a\big)\right]^2}\qquad(i)}$

Agora, faz-se necessário lembrar das duas seguintes identidades algébricas:

$\begin{cases}\mathsf{\big(x+y\big)^{\!2}=x^2+2xy+y^2\,;\,\forall\ x,\,y\,\in\,\mathbb{C}}\\\\ \mathsf{\!\big(x-y\big)^{\!2}=x^2-2xy+y^2\,;\,\forall\ x,\,y\,\in\,\mathbb{C}}\end{cases}$

Baseado nos resultados acima, temos que a igualdade (i) torna-se equivalente a:

$\mathsf{d\!=\!\sqrt{cos^2\big(a\big)+2\,cos\big(a\big)sen\big(a\big)+sen^2\big(a\big)+sen^2\big(a\big)-2\,sen\big(a\big)cos\big(a\big)+cos^2\big(a\big)}}$

Desenvolvendo a expressão situada logo acima, temos que o valor da distância d, em unidades de comprimento, será igual a

$\mathsf{\quad\,\sqrt{2\,sen^2\big(a\big)+2\,cos^2\big(a\big)}}\\\\\\ \mathsf{= \sqrt{2\big[sen^2\big(a\big)+cos^2\big(a\big)\big]}}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{2\big[1\big]}~~~~\,\bigg(pois~sen^2\big(a\big)+cos^2\big(a\big)=1\bigg)}\\\\\\ \mathsf{=\sqrt{2}}$

E com isso a resposta final é dada por:

$\boxed{\boxed{\mathsf{d=\sqrt{2}~\, u.c.}}}$

Um grande abraço!