Question

No laboratório do BRAINLY estudou-se a cultura de uma colónia de bactérias que duplica a superficie ocupada a cada hora que que passa!

Em 41 horas a colónia cobre toda zona de cultura. Em quantas horas a colónia cobrirá 50% da zona de cultura??

Resposta com explicação sob a forma de conceito matemático …utilizando por exemplo uma P.G.

Answer 1

Seja "S" a área da superfície final ocupada e "Si" a área da superfície inicial ocupada pelas bactérias, e como a cada uma hora(h) a área anterior ocupada é duplicada, então vale a seguinte relação exponencial:

$S=2^h*Si$

Para h = 41 horas:

$S=2^{41}*Si$

No caso em que a colônia cobrirá 50% da zona de cultura, temos que a área da superfície final é de S/2:

$\frac{S}{2}=2^h *Si\\\\ S=2^{h+1}*Si$

Assim, o número de horas para cobrir metade da superfície é de:

$2^{41}*Si=2^{h+1}*Si\\\\ 2^{41}=2^{h+1}\\\\ h+1=41\\\\ \boxed{h=40\ horas}$

Answer 2

-> Vou começar colocando o último termo da PG em função do primeiro

$a_{n} = a_{1} . q^n^-^1$
$a_{41} = a_{1} . 2 ^4^0$       ( 1 )

-> Como essa é uma PG de razão 2 , então temos que a cada hora o número de bactérias da colônia duplicaria
-> Como ela gastou 41 horas para preencher todo o lago , então o termo imediatamente anterior ( que corresponderia a 50% ) da cobertura do lago poderia ser escrito assim :

$a_{x} = \frac{a_{41} }{2}$

-> Agora irei substituir o termo $a_{41}$  ( 1 ) que calculei na primeira equação

$a_{x} = \frac{a_{1}.2^4^0 }{2^1}$     ( 2 )

-> Assim como eu escrevi o termo $a_{41}$ em função de $a_{1}$ , vou fazer o mesmo com o termo $a_{x}$

$a_{x} = a_{1} . 2^n^-^1$     ( 3 )

-> Agora vou substituir o termo $a_{x}$ da equação ( 2 ) na equação ( 3 ) :

$a_{1} .2^n^-^1 = \frac{a_{1}.2^4^0 }{2^1}$
$a_{1} . 2^n^-^1 = a_{1}.2.^4^0^-^1$
$a_{1} . 2^n^-^1 = a_{1} . 2 ^3^9$       ( simplificando )
$2^n^-^1 = 2^3^9$
$n - 1 = 39$
$n = 40$

-> Então 50% do lago seria coberta no momento igual a 40 horas